Пусть $G$ – группа и множество простых чисел $\tau(G)=\cup\pi(G : M)$ для любой максимальной подгруппы $M$ из $G$. Для непустой нильпотентной формации $\mathfrak{X}$ доказано, что группа $G$ имеет нильпотентный $\mathfrak{X}$-корадикал тогда и только тогда, когда $\mathfrak{X}$-корадикал $p$-силовского нормализатора субнормален в $G$ для любого $p$ из $\tau(G)$.

В работе рассматриваются свойства многочленов с коэффициентами в кольцах с делением. Получена теорема о разложении многочлена с коэффициентами в произвольном кольце с делением. Показано, что если нецентральный элемент не является корнем многочлена над произвольным кольцом с делением, то в классе сопряженности этого элемента бесконечно много элементов, не являющихся корнями этого многочлена. Также в работе получены оценки для количества различных классов сопряженности сферических корней для некоторых типов многочленов над алгебрами кватернионов.

Модулярное разделение секрета в группе $SL_2(\mathbb{Z})$ было предложено Янчевским, Матвеевым и Говорушко. В настоящей работе построена в явном виде вся фундаментальная область при действии левыми сдвигами главной конгруэнц-подгруппы на группе $SL_2(\mathbb{Z})$, что представляет дополнительные возможности для построения схем, так как эта область является пространством хранимых секретов схемы разделения секрета.

Для $\pi$-разрешимых не $\pi$-замкнутых неприводимых комплексных линейных групп $G$ степени $n$ с $\pi$-холловой $TI$-подгруппой $H$ нечетного порядка, большего 3, найдены условия, при которых $n$ делится на $|H|$ или на такую степень $f>1$ некоторого простого числа, что $f\equiv 1(\mathrm{mod}\ |H|)$.

Пусть $\mathfrak{F}$ и $\mathfrak{H}$ – некоторые $\tau$-замкнутые $\sigma$-локальные формации конечных групп. Через $\mathfrak{F}/^\tau_\sigma\mathfrak{H}\cap\mathfrak{F}$ обозначают решетку всех $\tau$-замкнутых $\sigma$-локальных формаций $\mathfrak{X}$ таких, что $\mathfrak{H}\cap\mathfrak{F}\subseteq \mathfrak{X}\subseteq \mathfrak{F}.$ Длину решетки $\mathfrak{F}/^\tau_\sigma\mathfrak{H}\cap\mathfrak{F}$ называют {\it $\mathfrak H^\tau_\sigma$-дефектом}, а при $\mathfrak{H}=(1)$ – формация всех единичных групп, {\it $l^\tau_\sigma$-длиной} формации $\mathfrak{F}$. Изучены общие свойства $\mathfrak H^\tau_\sigma$-дефекта $\tau$-замкнутых $\sigma$-локальных формаций, получено описание структурного строения приводимых $\tau$-замкнутых $\sigma$-локальных формаций, имеющих $\mathfrak H^\tau_\sigma$-дефект $\leq 2$ и $l^\tau_\sigma$-длину $\leq 3$.

Пусть $X=\{X_k\}_{k=1}^\infty$ – последовательность независимых симметричных и ограниченных случайных величин. В работе рассматриваются системы вида $\{X_iX_j\}_{i<j}$, $\{X_i X_j X_k\}_{i<j<k},\ldots$, конечные объединения таких систем и близкие к ним системы в пространстве $L_\infty$ ограниченных случайных величин. Ряды по таким системам не обладают свойством безусловности: сходимость рядов зависит от порядка, в котором нумеруются элементы системы. В то же время, как показано в работе, такие системы обладают очень бизким свойством случайной безусловной сходимости.}

Вводится рациональный сингулярный интеграл Джексона, представляющий собой линейную комбинацию рациональных интегральных операторов Фурье-Чебышёва с соответствующей треугольной матрицей коэффициентов и фиксированным количеством геометрически различных полюсов. Устанавливается его интегральное представление. Исследуются рациональные аппроксимации функций Маркова на отрезке $[-1,1]$ введенным методом. Устанавливается интегральное представление приближений и оценка сверху равномерных приближений. Изучаются аппроксимации функций Маркова с абсолютно непрерывной мерой, производная которой асимптотически равна некоторой степенной функции. В этом случае найдены оценки сверху поточечных и равномерных приближений и асимптотическое выражение мажоранты равномерных приближений. Устанавливаются оптимальные значения параметров, при которых обеспечиваются наилучшие равномерные приближения функций Маркова рациональными сингулярными интегралами Джексона. С этой целью решается соответствующая экстремальная задача. Показано, что при специальном выборе параметров равномерные рациональные приближения имеют более высокую скорость убывания в сравнении с соответствующими полиномиальными аналогами. В качестве следствия рассмотрены аппроксимации некоторых элементарных функций, представимых функциями Маркова на отрезке $[-1,1].$

Рассматривается линейная периодическая система управления с постоянной матрицей при управлении. Программное управление является периодическим, причем его период несоизмерим с периодом матрицы коэффициентов. Допустимое множество таких периодических управлений названо иррегулярным. Ставится задача выбора такого управления из указанного допустимого множества, чтобы теперь уже у квазипериодической системы появилось периодическое решение с заданным спектром частот, период которого совпадает с периодом управления. Поставленная задача названа задачей управления асинхронным спектром с иррегулярным допустимым множеством. Приводится необходимое условие ее разрешимости.

Реализован двумерный антиперроновский эффект смены различных положительных показателей Ляпунова линейной дифференциальной системы на отрицательный возмущением высшего порядка малости.

Изучается новое линейное интегро-дифференциальное уравнение на замкнутой кривой, расположенной на комплексной плоскости. На кривую и на коэффициенты уравнения накладываются некоторые ограничения. Уравнение содержит гиперсингулярные интегралы с искомой функцией. Характерной особенностью уравнения является наличие также регулярных интегралов с искомой функцией и ее комплексно-сопряженным значением. Решение уравнения сводится к решению смешанной краевой задачи для аналитических функций и последующему решению дифференциальных уравнений с дополнительными условиями на решение. Явно указываются условия разрешимости исходного уравнения. При их выполнении решение строится в замкнутой форме. Приводится пример.

Рассматривается сеть массового обслуживания (СеМО) с отрицательными задачами с однолинейными узлами и ограничением на время пребывания задач в узлах. Если в момент поступления отрицательной задачи в узле имеются положительные задачи, то одна из положительных задач мгновенно исчезает из сети. Если же в этот момент в узле отсутствуют положительные задачи, то поступающая в этот узел отрицательная задача пропадает, не оказывая в дальнейшем никакого влияния на поведение сети. Положительные задачи, время пребывания которых в узле закончилось, мгновенно и независимо от других положительных задач перемещаются по сети в соответствии с матрицей переходных вероятностей, отличной от матрицы маршрутизации обслуженных положительных задач. Доказывается нечувствительность стационарного распределения к форме распределения длительностей обслуживания задач, при фиксированных первых моментах.