Об аппроксимациях интеграла Римана–Лиувилля на отрезке рациональными интегральными операторами Фурье–Чебышёва

Исследуются аппроксимации интеграла Римана-Лиувилля на отрезке рациональными интегральными операторами Фурье-Чебышёва. Найдено интегральное представление приближений. Изучаются рациональные аппроксимации интеграла Римана-Лиувилля с плотностью $\varphi_\gamma(x) = (1-x)^\gamma,$ $\gamma >0,$ устанавливаются оценки поточечных и равномерных приближений. В случае одного полюса в открытой комплексной плоскости у аппроксимирующей функции получено асимптотическое выражение мажоранты равномерных приближений и оптимальное значение параметра, при котором мажоранта имеет асимптотически наибольшую скорость убывания. В качестве следствия получены оценки приближений интеграла Римана-Лиувилля с плотностью, принадлежащей некоторым классам непрерывных функций на отрезке, частичными суммами полиномиального ряда Фурье-Чебышёва.

1. Самко С. Г., Килбас А. А., Маричев О. И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск: Наука и техника, 1987.

2. Никольский С. М. О наилучшем приближении функции, s-ая производная которой имеет разрывы первого рода // Докл. АН СССР. 1947. Т. 55, № 2. С. 99–102.

3. Тюленева А. А. Приближение интегралов Римана–Лиувилля алгебраическими полиномами на отрезке // Изв. Саратовского ун-та. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2014. Т. 14, № 3. С. 305–311.

4. Ганзбург И. М. О приближении функций с заданным модулем непрерывности суммами П. Л. Чебышёва // Докл. АН СССР. 1953. Т. 91, № 6. С. 1253–1256.

5. Бадков В. М. Приближение функций в равномерной метрике суммами Фурье по ортогональным полиномам // Тр. МИАН СССР. 1980. Т. 145. С. 20–62.

6. Селиванова С. Г. Асимптотические оценки приближений дифференцируемых непериодических функций суммами Чебышёва // Докл. АН СССР. 1955. Т. 105, № 4. С. 648–651.

7. Тиман А. Ф., Тучинский Л. И. Приближение дифференцируемых функций, заданных на конечном отрезке алгебраическими многочленами // Докл. АН СССР. 1956. Т. 111, № 4. С. 771–773.

8. Райцин Р. А. О наилучшем приближении одного класса дифференцируемых функций алгебраическими многочленами // Изв. вузов. Математика. 1976. № 1. С. 64–74.

9. Райцин Р. А. О рядах Фурье–Чебышёва одного класса функций // Изв. вузов. Математика. 1988. № 10. С. 79–81.

10. Ровба Е. А. Приближение функций, дифференцируемых в смысле Римана–Лиувилля, рациональными операторами // Докл. Нац. акад. наук Беларуси. 1996. Т. 40, № 6. С. 18–22.

11. Смотрицкий К. А. Аппроксимация рациональными операторами Валле–Пуссена на отрезке // Тр. Ин-та математики. 2001. Т. 9. С. 110–114.

12. Смотрицкий К. А. О приближении дифференцируемых в смысле Римана–Лиувилля функций // Becцi Нац. акад. навук. Сер. фiз.-мат. навук. 2002. № 4. С. 42–47.

13. Рыбаченко И. В. Рациональная интерполяция функций с производной Римана–Лиувилля из Lp // Вестник БГУ. Сер. 1. 2006. № 2. С. 69–74.

14. Старовойтов А. П. Сравнение скоростей рациональных и полиномиальных аппроксимаций дифференцируемых функций // Математические заметки. 1988. Т. 44, № 4. С. 528–535.

15. Старовойтов А. П. Рациональные приближения дробных интегралов Римана–Лиувилля и Вейля // Математические заметки. 2005. Т. 78, № 3. С. 428–441.

16. Пашковский С. Вычислительные применения многочленов и рядов Чебышёва. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит-ры, 1983.

17. Васильев Н. И., Клоков Ю. А., Шкерстена А. Я. Применение полиномов Чебышёва в численном анализе. Рига: Зинатне, 1984.

18. Суетин П. К. Классические ортогональные многочлены. 3-е изд., перераб. и доп. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005.

19. Марфицын С. В., Марфицын В. П. Применение полиномов Чебышёва 1-го рода для описания устойчивых состояний металла при постоянных и переменных нагрузках // Вестн. Курганского госун-та. Сер. техн. науки. 2016. Вып. 1, № 3. С. 96–98.

20. Miyakoda T. Direct discretization of the fractional-order differential by using Chebyshev series expansion // PAMM Proc. Appl. Math. Mech. 2007. Vol. 7. P. 2020011–2020012.

21. Ровба Е. А. Об одном прямом методе в рациональной аппроксимации // Докл. НАН БССР. 1979. Т. 23, № 11. С. 968–971.

22. Patseika P. G., Rouba Y. A., Smatrytski K. A. On one rational integral operator of Fourier–Chebyshev type and approximation of Markov functions // Journal of the Belarusian State University. Mathematics and Informatics. 2020. Vol. 2. P. 6–27.

23. Поцейко П. Г., Ровба Е. А. Приближения на классах интегралов Пуассона рациональными интегральными операторами Фурье–Чебышёва // Сиб. матем. журн. 2021. Т. 62, № 2. С. 362–386.

24. Русак В. Н. Рациональные функции как аппарат приближения. Минск: БГУ, 1979.

25. Никольский С. М. О наилучшем приближении многочленами функций, удовлетворяющих условию Липшица // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1946. Т. 10, № 4. С. 295–322.

26. Евграфов М. А. Асимптотические оценки и целые функции. М.: Наука, 1979.

27. Федорюк М. В. Асимптотика. Интегралы и ряды. М.: Гл. ред. физ.-мат. лит-ры, 1987.

28. Пинкевич В. Т. О порядке остаточного члена ряда Фурье функций, дифференцируемых в смысле Wey’я // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1940. Т. 4, № 6. С. 521–528.