Об одном рациональном сингулярном интеграле Джексона и аппроксимациях функций Маркова

Вводится рациональный сингулярный интеграл Джексона, представляющий собой линейную комбинацию рациональных интегральных операторов Фурье-Чебышёва с соответствующей треугольной матрицей коэффициентов и фиксированным количеством геометрически различных полюсов. Устанавливается его интегральное представление. Исследуются рациональные аппроксимации функций Маркова на отрезке $[-1,1]$ введенным методом. Устанавливается интегральное представление приближений и оценка сверху равномерных приближений. Изучаются аппроксимации функций Маркова с абсолютно непрерывной мерой, производная которой асимптотически равна некоторой степенной функции. В этом случае найдены оценки сверху поточечных и равномерных приближений и асимптотическое выражение мажоранты равномерных приближений. Устанавливаются оптимальные значения параметров, при которых обеспечиваются наилучшие равномерные приближения функций Маркова рациональными сингулярными интегралами Джексона. С этой целью решается соответствующая экстремальная задача. Показано, что при специальном выборе параметров равномерные рациональные приближения имеют более высокую скорость убывания в сравнении с соответствующими полиномиальными аналогами. В качестве следствия рассмотрены аппроксимации некоторых элементарных функций, представимых функциями Маркова на отрезке $[-1,1].$

1. Марков А. А. Избранные труды по теории непрерывных дробей и теории функций, наименее уклоняющихся от нуля. М.: Гостехиздат, 1948. С. 106–119.

2. Гончар А. А. О скорости рациональной аппроксимации некоторых аналитических функций // Матем. сб. 1978. Т. 105 (147), № 2. С. 147–163.

3. Ganelius Т. Ortogonal polynomials and rational approximation of holomorphic function // Studies in Pure Mathematics (To the Memory of Paul Turan) / ed. P. Erdos. Basel, Birkhauser Verlag, 1978. P. 237–243.

4. Andersson J.-E. Best Rational Approximation to Markov Functions // J. Approx. Theory. 1994. Vol. 76, N 1. P. 219–232.

5. Пекарский А. А. Наилучшие равномерные рациональные приближения функций Маркова // Алгебра и анализ. 1995. Т. 7, № 2. С. 121–132.

6. Vyacheslavov N. S., Mochalina E. P. Rational approximations of functions of Markov–Stieltjes type in Hardy spaces // Mosc. Univ. Math. Bull. 2008. Vol. 63, N 4. P. 125–134.

7. Старовойтов А. П., Лабыч Ю. А. Рациональная аппроксимация функций Маркова, порожденных борелевскими мерами степенного типа // Проблемы физики, математики и техники. 2009. Т. 1, № 1. С. 69–73.

8. Мардвилко Т. С. Равномерная рациональная аппроксимация нечетного и четного преобразований Коши // Матем. сб. 2025. Т. 216, № 2. С. 110–127.

9. Пекарский А. А., Ровба Е. А. Равномерные приближения функций Стилтьеса посредством ортопроекции на множество рациональных функций // Матем. зам. 1999. Т. 65, вып. 3. С. 362–368.

10. Takenaka S. On the orthogonal functions and a new formula of interpolations // Jpn. J. Math. 1925. Vol. 2, N 1. P. 129–145.

11. Malmquist F. Sur la de´termination d’une classe functions analytiques par leurs dans un ensemble donne´ de points // Compte Rendus Sixie´me Congre´s math. scand. Kopenhagen, Denmark, 1925. P. 253–259.

12. Джрбашян М. М., Китбалян А. А. Об одном обобщении полиномов Чебышёва // Доклады АН Армянской ССР. 1964. Т. 38, № 5. С. 263–270.

13. Rovba E. A., Mikulich E. G. Constants in rational approximation of Markov–Stieltjes functions with fixed number of poles // Vesnik of Yanka Kupala State University of Grodno. Series 2. Mathematics. Physics. Informatics, Сomputer Technology and its Сontrol. 2013. Vol. 1, N 148. P. 12–20.

14. Лунгу К. Н. О наилучших приближениях рациональными функциями с фиксированным числом полюсов // Матем. сб. 1971. Т. 86(128), № 2(10). С. 314–324.

15. Лунгу К. Н. О наилучших приближениях рациональными функциями с фиксированным числом полюсов // Сиб. матем. журн. 1984. Т. XXV, № 2. С. 150–159.

16. Jackson D. The theory of approximation. Colloq. Publ. Amer. Math. Soc. Vol. XI. 1930. 184 p.

17. Schurer F., Steutel F. W. On the degree of approximation of functions in with operators of the Jackson type // J. Approx. Theory. 1979. Vol. 27, N 2. P. 153–178.

18. Wafi A. Saturation of local approximation by linear positive operators of Jackson type // Indian J. Pure Appl. Math. 1980. Vol. 11, N 9. P. 1194–1201.

19. Алексеев В. Г. Ядра типа Джексона и их применение к построению фильтров низких частот // Проблемы передачи информации. 1994. Т. 30, № 1. С. 97–102.

20. Алексеев В. Г. Ядра типа Джексона и Джексона–Валле Пуссена и их вероятностные применения // Теория вероятности и ее применение. 1996. Т. 41, № 1. С. 170–177.

21. Сафронова Г. П. О методе суммирования расходящихся рядов, связанном с сингулярным интегралом Джексона // Доклады АН СССР. 1950. Т. 73, № 2. С. 277–278.

22. Покало А. К. Об одном классе линейных методов суммирования рядов Фурье дифференцируемых функций // Весцi Акадэмii навук Беларускай ССР. Сер. фiз.-мат. навук. 1969. № 2. С. 48–49.

23. Поцейко П. Г. Об одном представлении сингулярного интеграла Джексона и аппроксимации функции x s на отрезке [ 1, 1] // Веснiк Гродз. дзярж. ун-та iмя Янкi Купалы. Сер. 2, Матэматыка. Фiзiка. Iнфарматыка, вылiчальная тэхнiка i кiраванне. 2019. Т. 9, № 2. С. 22–38.

24. Русак В. Н. О приближении рациональными функциями на вещественной оси // Изв. АН БССР. Сер. физ.-тех. наук. 1974. № 1. С. 22–28.

25. Русак В. Н. О порядке приближения положительными рациональными операторами // Изв. АН БССР. Сер. физ.-матем. наук. 1975. № 3. С. 39–46.

26. Пекарский А. А. Чебышевские рациональные приближения в круге, на окружности и на отрезке // Матем. сб. 1987. Т. 133(175), № 1(5). С. 86–102.

27. Ровба Е. А. Рациональные интегральные операторы на отрезке // Вестн. БГУ. Сер. 1, Физика. Математика. Информатика. 1996. № 1. С. 34–39.

28. Смотрицкий К. А. О приближении выпуклых функций рациональными интегральными операторами на отрезке // Весник БГУ. Сер. 1. 2005. № 3. С. 64–70.

29. Ровба Е. А., Поцейко П. Г. Об одном рациональном сингулярном интеграле Джексона на отрезке // Докл. НАН Беларуси. 2019. Т. 63, № 4. С. 398–407.

30. Ровба Е. А. Об одном прямом методе в рациональной аппроксимации // Докл. АН БССР. 1979. Т. 23, № 11. С. 968–971.

31. Patseika P. G., Rouba Y. A., Smatrytski K. A. On one rational integral operator of Fourier– Chebyshev type and approximation of Markov functions // J. BSU, Math. Inform. 2020. Vol. 2. P. 6–27.

32. Поцейко П. Г., Ровба Е. А. О рациональных суммах Абеля–Пуассона на отрезке и аппроксимациях функций Маркова // Журн. БГУ. Математика. Информатика. 2021. Т. 3. С. 6–24.

33. Поцейко П. Г., Ровба Е. А. О рациональных аппроксимациях функции Маркова на отрезке суммами Фейера с фиксированным количеством полюсов // Труды Института математики. 2022. Т. 30, № 1–2. С. 57–77.

34. Поцейко П. Г., Ровба Е. А. Суммы Валле Пуссена рациональных интегральных операторов Фурье–Чебышёва и аппроксимации функции Маркова // Алгебра и анализ. 2023. Т. 35, № 5. С. 183–208.

35. Сидоров Ю. В., Федорюк М. В., Шабунин М. И. Лекции по теории функций комплексного переменного. М.: Наука, Гл. ред. Физ.-мат. лит-ры, 1989. 480 с.

36. Евграфов М. А. Асимптотические оценки и целые функции. М.: Наука, 1979. 320 с.

37. Федорюк М. В. Асимптотика. Интегралы и ряды. М.: Гл. ред. Физ.-мат. лит-ры, 1987. 544 с.

38. Бернштейн С. Н. Экстремальные свойства полиномов и наилучшее приближение непрерывных функций одной вещественной переменной. М.; Л.: Гл. ред. общетехн. лит-ры, 1937. Ч. 1. 200 с.