В работе установлена связь между значениями двух целочисленных полиномов без общих корней на непересекающихся интервалах фиксированной длины с основными характеристиками полиномов – степенью и высотой. Доказанную теорему можно рассматривать как двумерное обобщение леммы Гельфонда из теории трансцендентных чисел. Теорема может быть использована при оценке сверху размерности Хаусдорфа множества векторов, которые покоординатно, с заданным порядком, приближаются сопряженными алгебраическими числами.

Пусть $G$ – конечная группа, ${\cal L}_{sn}(G)$ – решетка всех субнормальных подгрупп $G$. Пусть $A$ и $N$ – подгруппы группы $G$ и 1, $G\in {\cal L}$ – подрешетка ${\cal L}_{sn}(G)$, т.е. $A\cap B, \langle A, B \rangle \in {\cal L}$ для всех $A, B \in {\cal L} \subseteq {\cal L}_{sn}(G)$. Тогда через $A^{{\cal L}}$ обозначим $\cal L$-замыканием подгруппы $A$ в $G$, т.е. пересечение всех подгрупп из $ {\cal L}$, содержащих $A$, и через $A_{{\cal L}}$ – $\cal L$-ядро подгруппы $A$ в $G$, то есть подгруппу $A$, порожденную всеми подгруппами из $A$, принадлежащими $\cal L$. Мы говорим, что $A$ является $N$-${\cal L}$-подгруппой группы $G$, если либо $A\in {\cal L}$, либо $A_{{\cal L}} < A < A^{\cal L}$ и $N$ изолирует любой композиционный фактор $H/K$ группы $G$ между $A_{{\cal L}}$ и $ A^{\cal L}$, т.е. $N\cap H=N\cap K$. Используя эти понятия, мы даем новые характеризации разрешимых и сверхразрешимых конечных групп. Обобщены некоторые известные результаты.

   В работе построены локальные экраны классов групп, определяемых системами обобщенно субнормальных подгрупп в случае, когда эти классы локальны. Найдены условия, при которых класс групп, определяемый системой обобщенно субнормальных подгрупп, является формацией Фиттинга.

Все рассматриваемые группы конечны. Пусть $\sigma =\{\sigma_{i} \mid i\in I \}$ – некоторое разбиение множества всех простых чисел, $G$ – группа, $\sigma (G)=\{\sigma_i\mid \sigma_i\bigcap \pi (G)\ne \varnothing\} $, $\mathfrak F$ – класс групп и $\sigma (\mathfrak{F})=\bigcup_{G\in \mathfrak{F}}\sigma (G).$ Функцию $f$ вида $f:\sigma \to\{\text{формации групп}\}$ называют формационной σ‑функцией. Для любой формационной σ‑функции $f$ класс $LF_{\sigma}(f)$ определяют следующим образом: $LF_{\sigma}(f)=(G \mid G=1 \ \text{или }\ G\ne 1\ \text{и }\ G/O_{\sigma_i', \sigma_i}(G) \in f(\sigma_{i}) \ \text{ для всех } \sigma_i \in \sigma(G)).$ Если для некоторой формационной σ‑функции $f$ имеем $\mathfrak{F}=LF_{\sigma}(f),$ то класс $\mathfrak{F}$ называют $\sigma $-локальным, а σ‑функцию $f$ называют σ‑локальным определением $ \mathfrak{F}.$ Каждую формацию считают 0‑кратно σ‑локальной. Для $n \geqslant 1,$ формацию $\mathfrak{F}$ называют $n$-кратно $\sigma $-локальной, если либо $\mathfrak{F}=(1)$ – классом всех единичных групп, либо $\mathfrak{F}=LF_{\sigma}(f),$ где $f(\sigma_i)$ является $(n-1)$-кратно σ‑локальной для всех $\sigma_i\in \sigma (\mathfrak{F}).$ Пусть $\tau(G)$ – такое множество подгрупп $G$, что $G\in \tau(G).$ Тогда $\tau$ называют подгрупповым функтором, если для любого эпиморфизма $\varphi$ : $A \to~B$ и любых групп $H \in \tau(A)$ и $T\in \tau(B)$ имеем $H^{\varphi}\in\tau(B)$ и $T^{{\varphi}^{-1}}\in\tau(A).$ Формацию $\mathfrak{F}$ называют $\tau$-замкнутой, если $\tau(G)\subseteq\mathfrak{F}$ для всех $G\in\mathfrak F.$ В работе получены необходимые и достаточные условия $n$-кратной σ‑локальности $(n\geqslant 1)$ непустой $\tau$-замкнутой формации.

Исследуются аппроксимации интеграла Римана-Лиувилля на отрезке рациональными интегральными операторами Фурье-Чебышёва. Найдено интегральное представление приближений. Изучаются рациональные аппроксимации интеграла Римана-Лиувилля с плотностью $\varphi_\gamma(x) = (1-x)^\gamma,$ $\gamma >0,$ устанавливаются оценки поточечных и равномерных приближений. В случае одного полюса в открытой комплексной плоскости у аппроксимирующей функции получено асимптотическое выражение мажоранты равномерных приближений и оптимальное значение параметра, при котором мажоранта имеет асимптотически наибольшую скорость убывания. В качестве следствия получены оценки приближений интеграла Римана-Лиувилля с плотностью, принадлежащей некоторым классам непрерывных функций на отрезке, частичными суммами полиномиального ряда Фурье-Чебышёва.

   Дистанционно регулярный граф Γ диаметра 3 с сильно регулярными графами Γ₂ и Γ₃ имеет массив пересечений {r(c₂ + 1) + a₃, rc₂, a₃ + 1; 1, c₂, r(c₂ + 1)} (М. С. Нирова). Для дистанционно регулярного графа Γ диаметра 3 и степени 44 имеется 7 допустимых массивов пересечений. Для каждого из них граф Γ₃ сильно регулярен. Для массива пересечений {44,30,5;1,3,40} имеем a₃ = 4, c₂ = 3, r = 10, Γ₂ имеет параметры (540, 440, 358, 360) и Γ₃ имеет параметры (540, 55, 10, 5). Граф не существует (Кулен–Пак). Для массива пересечений {44, 35, 3; 1, 5, 42} граф Γ₃ имеет параметры (375, 22, 5, 1). Граф не существует (окрестность вершины – объединение изолированных 6-клик). В работе доказано, что дистанционно регулярные графы с массивами пересечений {44, 36, 5; 1, 9, 40}, {44, 36, 12; 1, 3, 33} и {44, 42, 5; 1, 7, 40} не существуют.

   Исследуется линейная однородная алгебраическая система с квазипериодической матрицей коэффициентов на предмет существования сильно нерегулярного квазипериодического решения. Показано, что при наличии такого решения между его компонентами имеется линейная зависимость. Приводится алгоритм нахождения этой зависимости.

   В работе даны критерий существования и полное описание непрерывных на прямой решений линейного функционального уравнения f( f(x))+a f(x)+bx = 0 второго порядка с постоянными коэффициентами.

   Разработан численный метод нахождения эффективных коэффициентов теплопроводности дисперсно-наполненных композиционных материалов с учетом их структуры и зависимости теплофизических свойств от температуры. Произведены вычислительные эксперименты.

   Разработан численный метод решения начально-краевой задачи экранирования импульсных электромагнитных полей плоским намагниченным экраном из пермаллоя для случая, когда поток энергии импульсного поля направлен ортогонально экрану. Численно исследована динамика преобразования импульсов при прохождении через экран. Вычислен коэффициент эффективности экранирования.

Эта работа посвящена построению и исследованию трехслойных компактных разностных схем порядка аппроксимации $O(h^4+\tau^2)$ для линейных и квазилинейных параболических уравнений. В линейном случае получены априорные оценки устойчивости по входным данным и правой части. Базовой схемой для построения разностных схем заданного качества является асимптотически устойчивая схема второго порядка точности $O(h^4+\tau^2)$ А. А. Самарского. Результаты обобщены на случай граничных условий третьего рода и переменные коэффициенты. Так же построена трехслойная схема порядка $O(h^6+\tau^3)$ на трехточечном шаблоне по пространству, которая позволяет использовать метод прогонки для решения соответствующей системы алгебраических уравнений. Приведены эксперименты, иллюстрирующие правильность наших теоретических утверждений. Моделирование нелинейных задач с бегущими волнами показало, что эти алгоритмы можно успешно применять и в случае наличия особенностей в решении дифференциальных задач.