Приводятся результаты прогнозирования первой волны распространения коронавирусной инфекции COVID-19 на основе упрощенной модели Барояна–Рвачева.
Изучаются свойства топологии $\tau_{inf}$, являющейся инфимумом множества всех топологий, порожденных метриками Хаусдорфа на экспоненте (гиперпространстве) $\exp X$ метризуемого топологического пространства $X$. В качестве основного результата получены необходимые и достаточные условия выполнения первой аксиомы счётности для $\tau_{inf}$, а также метризуемости (метрикой Хаусдорфа) этой топологии ("достижения" инфимума). Помимо этого, исследована связь $\tau_{inf}$ с другими топологиями на $\exp X$, а именно: с топологией Виеториса, топологией Фелла, локально конечной топологией.
На протяжении всей статьи все группы конечны. Говорят, что подгруппа $A$ группы $G$ $\pi$-квазинормальна в $G$, если $A$ $1\pi$-субнормальна и модулярна в $G$. Доказано, что если группа $G$ $\pi _{0}$-разрешима и $ \pi$-квазинормальность является транзитивным отношением в $G$, где $\pi _{0}=\pi (D) $ и $D$ – $ \pi $-специальный корадикал группы $G$, то $D$ – абелева холлова подгруппа нечетного порядка в $G$.
Подгруппа $H$ конечной группы $G$ называется слабо $\mathbb{P}$-субнормальной подгруппой, если $H$ порождаетcя двумя подгруппами, одна из которых субнормальна в $G$, а другую можно соединить с группой $G$ цепочкой подгрупп с простыми индексами. Устанавливаются свойства слабо $\mathbb{P}$-субнормальных подгрупп, позволяющие распространять известные результаты о конечных группах с наборами $\mathbb{P}$-субнормальных подгрупп на конечные группы со слабо $\mathbb{P}$-субнормальными подгруппами. В частности, устанавливается сверхразрешимость конечной группы со слабо $\mathbb{P}$-субнормальными нормализаторами силовских подгрупп и метанильпотентность группы со слабо $\mathbb{P}$-субнормальными $B$-подгруппами.
Пусть $\mathfrak{X}$ – некоторый непустой класс конечных групп. Полную решетку формаций $\theta$ называют $\mathfrak{X}$-отделимой, если для любого терма $\eta(x_1, \ldots , x_n)$ сигнатуры $\{\cap,\vee_{\theta}\}$, любых $\theta$-формаций $\mathfrak{F}_1, \ldots , \mathfrak{F}_n$ и любой группы $A\in \mathfrak{X}\cap \eta(\mathfrak{F}_1, \ldots , \mathfrak{F}_n)$ найдутся такие $\mathfrak{X}$-группы $A_1\in \mathfrak{F}_1, \ldots , A_n\in \mathfrak{F}_n$, что $A\in \eta(\theta\textup{form}(A_1), \ldots , \theta\textup{form}(A_n))$. Доказано, что решетка всех $\tau$-замкнутых тотально ω‑композиционных формаций $\mathfrak{G}$-отделима, где $\tau$ – подгрупповой функтор в смысле А. Н. Скибы, $\mathfrak{G}$ – класс всех конечных групп.
При некоторых ограничениях найдены подмодули Вейля с малыми старшими весами в ограничениях неприводимых представлений простых алгебраических групп на подсистемные подгруппы типа $A_1$ над полем положительной характеристики.
В работе изучаются минимальные $\sigma$-локальные не $\mathfrak H$-формации конечных групп (или, иначе, $\mathfrak H_\sigma$-критические формации), т. е. такие $\sigma$-локальные формации, не входящие в класс групп $\mathfrak H$, все собственные $\sigma$-локальные подформации которых содержатся в $\mathfrak H$. Получено описание минимальных $\sigma$-локальных не $\mathfrak H$-формаций для произвольной $\sigma$-локальной формации $\mathfrak H$ классичесского типа, т. е. $\sigma$-локальной формации, имеющей такое $\sigma$-локальное определение, все неабелевы значения которого $\sigma$-локальны. Основной результат работы в классе $\sigma$-локальных формаций решает задачу Л. А. Шеметкова (1980 г.) об описании критических формаций для заданных классов конечных групп. В качестве следствий приведены описания $\mathfrak H_\sigma$-критических формаций для ряда конкретных классов конечных групп, таких как классы всех $\sigma$-нильпотентных, мета-$\sigma$-нильпотентных групп, а также класс всех групп с $\sigma$-нильпотентным коммутантом.
Подгруппы $A$ и $B$ группы $G$ называются $\mathrm{cc}$-перестановочными в $G$, если $A$ перестановочна с $B^g$ для некоторого элемента ${g\in \langle A,B\rangle}$. Подгруппа $A$ группы $G$ называется условно полунормальной в $G$, если в $G$ существует подгруппа $T$ такая, что $G=AT$ и $A$ $\mathrm{cc}$-перестановочна с каждой подгруппой из $T$. В настоящей работе доказана сверхразрешимость группы $G$, факторизуемой cверхразрешимыми условно полунормальными подгруппами $A$ и $B$, в следующих случаях: коммутант $G^\prime$ нильпотентен; ${(|A|,|B|)=1}$; $G$ метанильпотентна и ${(|G:A|,|G:B|)=1}$; $G$ метанильпотентна и ${(|A/A^{\mathfrak N}|,|B/B^{\mathfrak N}|)=1}$. Кроме того, установлена сверхразрешимость группы, у которой максимальные, силовские, максимальные из силовских, минимальные, 2-максимальные подгруппы являются условно полунормальными подгруппами.
Работа является третьей из серии статей, где для множества π, состоящего из нечетных простых чисел, исследуются конечные π‑разрешимые неприводимые комплексные линейные группы степени $2|H|+1$, у которых холловы π‑подгруппы $H$ являются $TI$‑подгруппами и не являются нормальными в группах. Цель серии – доказать разрешимость и определить условия факторизации таких групп. Продолжено доказательство теоремы. Установлены дальнейшие свойства минимального контрпримера к теореме.
