Рассматриваются только конечные группы. Подгруппа $H$ группы $G$ называется $n\Phi$-подгруппой, если существует нормальная подгруппа $K$ такая, что $G=HK$ и $H\cap K$ содержится в подгруппе Фраттини подгруппы $H$. Получено строение конечной группы в следующих случаях: $n\Phi$-подгруппами являются все нормальные подгруппы; подгруппа Фраттини группы единична и каждая $n\Phi$-подгруппа нормальна; каждая $2$-максимальная подгруппа является $n\Phi$-подгруппой; каждая $3$-максимальная подгруппа является $n\Phi$-подгруппой; для всех простых $p$ каждая подгруппа порядка $p^2$ является $n\Phi$-подгруппой. Для произвольной формации $\mathfrak F$ устанавливается, что в $\mathfrak F$-корадикале группы каждая неединичная $\mathfrak F$-подгруппа не является $n\Phi$-подгруппой.

Рассматриваются неприводимые представления простых алгебраических групп над полем $\mathbb{C}$ комплексных чисел. Для групп типа $A_2$, $A_3$ и $C_2$ получено обобщение знаменитой теоремы Дынкина о веретенообразности системы весов. Это позволило описать Жорданову нормальную форму унипотентных элементов в неприводимых представлениях таких групп, точнее определить размерности всех блоков Жордана образов унипотентных элементов без нахождения количества этих блоков.

Для нечетного простого числа $r$ найдены условия, при которых силовская $r$-подгруппа $G_{r}$ абелева и нормальна в неприводимой комплексной линейной группе $G$.

В работе рассматриваются банаховы пространства операторов из $\ell^p$ в $\ell^q$, реализуемых в виде бесконечных матриц. Показано, что при $p>1$ и $q<\infty$ для почти всех подпространств, образованных случайно выбранными матричными единицами, естественные проекторы на эти подпространства будут неограничены. Кроме того, эти проекторы будут неограничены уже на классе матриц с элементами $a_{ij}\in\{-1,0,1\}$.

На замкнутой кривой, расположенной на комплексной плоскости, изучаются обобщенные краевые задачи Римана. В краевое условие задач наряду с предельными значениями искомых функций входят предельные значения их производных. Краевое условие записывается с помощью определителей, близких к определителям Вронского. Решение задач сводится к решению классической задачи Римана и решению линейных дифференциальных уравнений в областях комплексной плоскости с некоторыми ограничениями на решения. Явно указываются условия разрешимости исходных задач, при их выполнении приводятся явные формулы решений. Приведены примеры.

Объектом исследования статьи является стохастическое дифференциальное уравнение Ито с дрейфом. В работе предложен метод приближенного вычисления математических ожиданий функций от решения рассматриваемого уравнения. Метод основан на использовании вспомогательного случайного процесса специального вида, зависящего только от процесса Винера. Такой подход позволяет использовать для получения приближенного значения искомого математического ожидания уже известные формулы приближенного вычисления для случая, когда функционал зависит только от процесса Винера. В работе представлены результаты численного эксперимента.

Рассматривается линейная периодическая система управления с постоянной невырожденной матрицей при управлении. Программное управление является периодическим, причем его период несоизмерим с периодом матрицы коэффициентов. Допустимое множество таких периодических управлений названо иррегулярным. Ставится задача выбора такого управления из указанного допустимого множества, чтобы теперь уже у квазипериодической системы появилось частично нерегулярное периодическое решение с заданным спектром частот, период которого совпадает с периодом управления. Такая задача названа задачей управления асинхронным спектром с иррегулярным допустимым множеством. Для ее решения исходная система сводится к некоторой линейной неоднородной системе меньшей размерности. Изучается нерезонансный случай, когда соответствующая однородная система не имеет нерегулярных периодических решений. Получено необходимое условие разрешимости задачи управления асинхронным спектром с иррегулярным допустимым множеством.

Для одномерного слабо квазилинейного волнового уравнения, заданного в первом квадранте, рассматривается смешанная задача, в которой на пространственной полуоси задаются условия Коши, а на временной полуоси задается условие Дирихле. Нелинейность содержит независимые переменные, искомую функцию и ее производные. Решение строится в неявном аналитическом виде как решение некоторых интегро-дифференциальных уравнений. Разрешимость интегро-дифференциальных уравнений доказывается с использованием обобщения теоремы Банаха о неподвижной точке. Для рассматриваемой задачи доказывается единственность решения и устанавливаются условия, при выполнении которых существует ее классическое решение.

Статья посвящена разработке вычислительной методики для определения эффективного модуля Юнга композиционных порошковых материалов на основе анализа их микроструктуры. Предлагаемый подход включает построение двумерной геометрической модели микроструктуры композита в виде ячейки периодичности, формулировку математической модели, имитирующей физический эксперимент на растяжение-сжатие представительного объема, и численную реализацию методом контрольного объема на структурированных четырехугольных сетках. Учитываются свойства матрицы и включений, их объемное содержание и форма. Эффективный модуль упругости вычисляется на основе энергетического баланса: работа внешних сил приравнивается к сумме энергий деформации всех ячеек сетки. Приведены результаты вычислительных экспериментов для композитов на основе меди с включениями карбида вольфрама и тефлона, а также для градиентных покрытий на основе NiCr с добавлением TiC. Показано, что методика позволяет прогнозировать изменение модуля упругости в зависимости от объемной доли наполнителя и может быть использована при проектировании слоистых износостойких покрытий.

Представлено подробное доказательство условия эргодичности для многолинейной системы массового обслуживания с повторными попытками, неоднородными приборами, временем обслуживания, имеющим фазовое распределение с различными неприводимыми представлениями, и поступлением запросов, определяемым марковским процессом поступления. Доказательство состоит в использовании асимптотически квазитеплицевых цепей Маркова и теории марковских процессов обновления.

Рассматриваются метризуемое топологическое пространство $X$ и множество $\Omega_X$ всех метрик, порождающих топологию этого пространства. Как известно, эквививалентным метрикам $\rho$ и $\sigma$ из $\Omega_X$ на экспоненте $\exp X$ могут соответствовать различные топологии $\tau_{\widehat{\rho}}$ и $\tau_{\widehat{\sigma}}$, порожденные метриками Хаусдорфа $\widehat{\rho}$ и $\widehat{\sigma}$, различные проксимальные топологии $\tau_{\delta (\rho)}$ и $\tau_{\delta (\sigma)}$ и различные топологии Вайсмана $\tau_{W(\rho)}$ и $\tau_{W(\sigma)}$. Таким образом, на $\exp X$ возникают семейства топологий  $\mathcal{T}_H = \{\tau_{\widehat{\rho}}\: | \: \rho\in\Omega_X\}$, $\mathcal{T}_{\delta} = \{\tau_{\delta (\rho)}\: | \: \rho\in\Omega_X\}$ и $\mathcal{T}_W = \{\tau_{W({\rho})}\: | \: \rho\in\Omega_X\}$. В предлагаемой статье описаны случаи совпадения инфимумов указанных семейств, т.~е. топологий $\tau_{H(\inf)} = \inf\mathcal{T}_H$, $\tau_{\delta (\inf)} = \inf\mathcal{T}_{\delta}$ и $\tau_{W(\inf)} = \inf\mathcal{T}_W$: $\tau_{H(\inf)} =\tau_{\delta (\inf)}$ тогда и только тогда, когда пространство $X$ обладает счетной базой, равенства $\tau_{H(\inf)} =\tau_{W(\inf)}$ и $\tau_{\delta (\inf)} = \tau_{W(\inf)}$ имеют место тогда и только тогда, когда пространство $X$ компактно. Помимо этого установлено, что топологии $\tau_{\delta (\inf)}$ и $\tau_{W(\inf)}$ секвенциальны тогда и только тогда, когда исходное пространство $X$ обладает счетной базой.