О совпадении некоторых инфимальных топологий экспоненты метризуемого пространства

Аннотация

Рассматриваются метризуемое топологическое пространство $X$ и множество $\Omega_X$ всех метрик, порождающих топологию этого пространства. Как известно, эквививалентным метрикам $\rho$ и $\sigma$ из $\Omega_X$ на экспоненте $\exp X$ могут соответствовать различные топологии $\tau_{\widehat{\rho}}$ и $\tau_{\widehat{\sigma}}$, порожденные метриками Хаусдорфа $\widehat{\rho}$ и $\widehat{\sigma}$, различные проксимальные топологии $\tau_{\delta (\rho)}$ и $\tau_{\delta (\sigma)}$ и различные топологии Вайсмана $\tau_{W(\rho)}$ и $\tau_{W(\sigma)}$. Таким образом, на $\exp X$ возникают семейства топологий  $\mathcal{T}_H = \{\tau_{\widehat{\rho}}\: | \: \rho\in\Omega_X\}$, $\mathcal{T}_{\delta} = \{\tau_{\delta (\rho)}\: | \: \rho\in\Omega_X\}$ и $\mathcal{T}_W = \{\tau_{W({\rho})}\: | \: \rho\in\Omega_X\}$. В предлагаемой статье описаны случаи совпадения инфимумов указанных семейств, т.~е. топологий $\tau_{H(\inf)} = \inf\mathcal{T}_H$, $\tau_{\delta (\inf)} = \inf\mathcal{T}_{\delta}$ и $\tau_{W(\inf)} = \inf\mathcal{T}_W$: $\tau_{H(\inf)} =\tau_{\delta (\inf)}$ тогда и только тогда, когда пространство $X$ обладает счетной базой, равенства $\tau_{H(\inf)} =\tau_{W(\inf)}$ и $\tau_{\delta (\inf)} = \tau_{W(\inf)}$ имеют место тогда и только тогда, когда пространство $X$ компактно. Помимо этого установлено, что топологии $\tau_{\delta (\inf)}$ и $\tau_{W(\inf)}$ секвенциальны тогда и только тогда, когда исходное пространство $X$ обладает счетной базой.