Стационарный анализ многолинейной системы массового обслуживания с неоднородными приборами и распределением времени обслуживания фазового типа

Анализируется многолинейная система обслуживания с повторными вызовами и неоднородными серверами. Длительности обслуживания имеют фазовое распределение с различными неприводимыми представлениями. Поступление запросов в систему определяется марковским процессом поступления. Когда все серверы заняты в момент поступления, запрос помещается в виртуальное место, называемое орбитой, чтобы повторить попытку достичь серверов через экспоненциально распределенные периоды времени. Общая скорость повторных вызовов с орбиты бесконечно увеличивается с ростом числа запросов, находящихся на орбите. При поступлении или повторных вызовах с орбиты запрос занимает сервер с минимальным номером среди всех свободных серверов, если таковые имеются. Динамика состояний системы описывается многомерной цепью Маркова, имеющей специальную блочную структуру инфинитезимального генератора. Представлено явное выражение для генератора. Выведено условие эргодичности. Приведены выражения для вычисления ключевых характеристик производительности системы. Представлены численные результаты, иллюстрирующие зависимости характеристик производительности системы от средней скорости поступления заявок для системы и ее частных случаев, когда поступления описываются стационарным пуассоновским процессом или (и) времена обслуживания подчиняются экспоненциальному распределению.

1. Falin G. I., Templeton J. G. Retrial queues. Routledge, New York, NY, USA, 2023.

2. Lucantoni D. New results on the single server queue with a batch Markovian arrival process. Communication in Statistics-Stochastic Models, 1991, vol. 7, pp. 1–46.

3. Chakravarthy S. R. The batch Markovian arrival process: A review and future work. Adv. Probab. Theory Stoch. Process, 2001, vol. 1, pp. 21–49.

4. Chakravarthy S. R. Introduction to Matrix-Analytic Methods in Queues 1: Analytical and Simulation Approach – Basics. ISTE Ltd, London and John Wiley and Sons, New York, 2022.

5. Dudin A. N., Klimenok V. I., Vishnevsky V. M. The theory of queuing systems with correlated flows. Springer Nature, 2020.

6. Neuts M. Matrix-geometric solutions in stochastic models. North Chelmsford, Courier Corporation, 1994.

7. He Q. M., Li H., Zhao Y. Q. Ergodicity of the BMAP/PH/s/s + K retrial queue with PH-retrial times. Queueing Systems, 2000, vol. 35, pp. 323–347.

8. Breuer L., Dudin A., Klimenok V. A retrial BMAP/PH/N system. Queueing Systems, 2002, vol. 40, no. 4, pp. 433–457.

9. Liu M. Analysis of a Queue System with Repeated Calls, Heterogeneous Devices, and a Markov Arrival Process. Informatics, 2020, vol. 17, no. 1, pp. 48–57.

10. Liu M., Dudin A. Analysis of Retrial Queue with Heterogeneous Servers and Markovian Arrival Process. Applied Probability and Stochastic Processes, Springer, 2020, pp. 29–49.

11. Graham A. Kronecker products and matrix calculus with applications. Courier Dover Publications, Mineola, 2018.

12. Klimenok V. I., Dudin A. N. Multi-dimensional asymptotically quasi-Toeplitz Markov chains and their application in queueing theory. Queueing Systems, 2006, vol. 54, pp. 245–259.