mathnasТруды Института математики НАН БеларусиProceedings of the Institute of Mathematics of the NAS of Belarus1812-5093Институт математики НАН Беларусиmathnas-73Research ArticleТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКАPROBABILITY THEORY AND MATHEMATICAL STATISTICSСтационарный анализ многолинейной системы массового обслуживания с неоднородными приборами и распределением времени обслуживания фазового типаSteady-state analysis of the multi-server retrial queueing system with heterogeneous servers and phase type distribution of service timesЛюМ.LiuM.

Минск

Minsk

liumei19910101@126.comДудинА. Н.DudinA. N.

Минск

Minsk

dudin@bsu.byБелорусский государственный университетBelarusian State University202530062025331111120Copyright © Лю М., Дудин А.Н., 20252025Лю М., Дудин А.Н.Liu M., Dudin A.N.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://mathnas.ejournal.by/jour/article/view/73

Анализируется многолинейная система обслуживания с повторными вызовами и неоднородными серверами. Длительности обслуживания имеют фазовое распределение с различными неприводимыми представлениями. Поступление запросов в систему определяется марковским процессом поступления. Когда все серверы заняты в момент поступления, запрос помещается в виртуальное место, называемое орбитой, чтобы повторить попытку достичь серверов через экспоненциально распределенные периоды времени. Общая скорость повторных вызовов с орбиты бесконечно увеличивается с ростом числа запросов, находящихся на орбите. При поступлении или повторных вызовах с орбиты запрос занимает сервер с минимальным номером среди всех свободных серверов, если таковые имеются. Динамика состояний системы описывается многомерной цепью Маркова, имеющей специальную блочную структуру инфинитезимального генератора. Представлено явное выражение для генератора. Выведено условие эргодичности. Приведены выражения для вычисления ключевых характеристик производительности системы. Представлены численные результаты, иллюстрирующие зависимости характеристик производительности системы от средней скорости поступления заявок для системы и ее частных случаев, когда поступления описываются стационарным пуассоновским процессом или (и) времена обслуживания подчиняются экспоненциальному распределению.

A multi-server retrial queueing system with heterogeneous servers is analysed. The service times have a phase-type distribution with different irreducible representations. Customer arrival to the system is defined by a Markovian arrival process. When all servers are busy at an arrival moment, the customer moves to the virtual place called orbit to retry to reach the servers in exponentially distributed periods of time. The total retrial rate from the orbit infinitely increases when the number of customers residing in orbit grows. Upon arrival or retrial from the orbit, a customer occupies the server having the minimal number among all idle servers, if any. The dynamics of the system states is described by a multidimensional Markov chain having the special block structure of the infinitesimal generator. The explicit expression for this is presented. Ergodicity condition is derived. The expressions for computation of the key performance characteristics of the system are given. Numerical results, which highlight dependencies of these measures on the mean arrival rate for the system and its particular cases, when the arrivals are described by the stationary Poisson process or (and) service times follow the exponential distribution, are presented.

Марковский процесс поступленияповторные попыткинеоднородные серверыраспределение фазового типаасимптотически квазитеплицевы цепи МарковаMarkovian arrival processretrialsheterogeneous serversphase-type distributionasymptotically quasi-Toeplitz Markov chainsThis research has received support by the Belarusian Republican Foundation for Fundamental Research (grant F25UZB-016) and the Ministry of Higher Education, Science and Innovations of the Republic of Uzbekistan (grant FL-8824063218).ReferencesFalin G. I., Templeton J. G. Retrial queues. Routledge, New York, NY, USA, 2023.Falin G. I., Templeton J. G. Retrial queues. Routledge, New York, NY, USA, 2023.Lucantoni D. New results on the single server queue with a batch Markovian arrival process. Communication in Statistics-Stochastic Models, 1991, vol. 7, pp. 1–46.Lucantoni D. New results on the single server queue with a batch Markovian arrival process. Communication in Statistics-Stochastic Models, 1991, vol. 7, pp. 1–46.Chakravarthy S. R. The batch Markovian arrival process: A review and future work. Adv. Probab. Theory Stoch. Process, 2001, vol. 1, pp. 21–49.Chakravarthy S. R. The batch Markovian arrival process: A review and future work. Adv. Probab. Theory Stoch. Process, 2001, vol. 1, pp. 21–49.Chakravarthy S. R. Introduction to Matrix-Analytic Methods in Queues 1: Analytical and Simulation Approach – Basics. ISTE Ltd, London and John Wiley and Sons, New York, 2022.Chakravarthy S. R. Introduction to Matrix-Analytic Methods in Queues 1: Analytical and Simulation Approach – Basics. ISTE Ltd, London and John Wiley and Sons, New York, 2022.Dudin A. N., Klimenok V. I., Vishnevsky V. M. The theory of queuing systems with correlated flows. Springer Nature, 2020.Dudin A. N., Klimenok V. I., Vishnevsky V. M. The theory of queuing systems with correlated flows. Springer Nature, 2020.Neuts M. Matrix-geometric solutions in stochastic models. North Chelmsford, Courier Corporation, 1994.Neuts M. Matrix-geometric solutions in stochastic models. North Chelmsford, Courier Corporation, 1994.He Q. M., Li H., Zhao Y. Q. Ergodicity of the BMAP/PH/s/s + K retrial queue with PH-retrial times. Queueing Systems, 2000, vol. 35, pp. 323–347.He Q. M., Li H., Zhao Y. Q. Ergodicity of the BMAP/PH/s/s + K retrial queue with PH-retrial times. Queueing Systems, 2000, vol. 35, pp. 323–347.Breuer L., Dudin A., Klimenok V. A retrial BMAP/PH/N system. Queueing Systems, 2002, vol. 40, no. 4, pp. 433–457.Breuer L., Dudin A., Klimenok V. A retrial BMAP/PH/N system. Queueing Systems, 2002, vol. 40, no. 4, pp. 433–457.Liu M. Analysis of a Queue System with Repeated Calls, Heterogeneous Devices, and a Markov Arrival Process. Informatics, 2020, vol. 17, no. 1, pp. 48–57.Liu M. Analysis of a Queue System with Repeated Calls, Heterogeneous Devices, and a Markov Arrival Process. Informatics, 2020, vol. 17, no. 1, pp. 48–57.Liu M., Dudin A. Analysis of Retrial Queue with Heterogeneous Servers and Markovian Arrival Process. Applied Probability and Stochastic Processes, Springer, 2020, pp. 29–49.Liu M., Dudin A. Analysis of Retrial Queue with Heterogeneous Servers and Markovian Arrival Process. Applied Probability and Stochastic Processes, Springer, 2020, pp. 29–49.Graham A. Kronecker products and matrix calculus with applications. Courier Dover Publications, Mineola, 2018.Graham A. Kronecker products and matrix calculus with applications. Courier Dover Publications, Mineola, 2018.Klimenok V. I., Dudin A. N. Multi-dimensional asymptotically quasi-Toeplitz Markov chains and their application in queueing theory. Queueing Systems, 2006, vol. 54, pp. 245–259.Klimenok V. I., Dudin A. N. Multi-dimensional asymptotically quasi-Toeplitz Markov chains and their application in queueing theory. Queueing Systems, 2006, vol. 54, pp. 245–259.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.