О реализации спектрального метода Чебышёва для двумерных эллиптических уравнений со смешанными производными
Аннотация
Рассмотрены вопросы построения численных алгоритмов на основе спектрального метода Чебышёва для приближенного решения эллиптических уравнений со смешанными производными в прямоугольной области с однородными краевыми условиями Дирихле. Для реализации спектрального метода использован стабилизированный метод би-сопряженных градиентов с переобусловливателями в виде разностных или спектральных аналогов оператора Лапласа. Проведено сравнение эффективности обработки переобусловлевателя с применением итерационного метода переменных направлений и алгоритма Бартелса-Стюарта. Представленные результаты показывают, что рассмотренные алгоритмы демонстрируют вычислительные характеристики, сопоставимые по времени вычислений на сетках одинаковой размерности с характеристиками разностных методов, однако многократно превосходят последние по точности в случае достаточно гладких решений
Об авторах
В. М. Волков
Белорусский государственный университет
Беларусь
Беларусь
Минск
Цзинхуэй Дун
Белорусский государственный университет
Беларусь
Беларусь
Минск
Список литературы
1. Самарский А. А., Андреев В. Б. Разностные методы для эллиптических уравнений. М.: Наука, 1976.
2. Ciarlet P. G. The finite element method for elliptic problems // Society for Industrial and Applied Mathematics, 2002.
3. Самарский А. А., Николаев Е. С. Методы решения сеточных уравнений. M.: Наука, 1978.
4. Hackbusch W. Multi-grid methods and applications. Springer Science. Business Media, 2013. Vol. 4.
5. D’yakonov E. G. Optimization in solving elliptic problems. CRC Press, 2018.
6. Boyd J. P. Chebyshev and Fourier spectral methods. Courier Corporation, 2001.
7. Trefethen L. N. Spectral Methods in MATLAB. Philadelphia: SIAM, 2000.
8. Simoncini V. Computational methods for linear matrix equations // SIAM REVIEW. 2016. Vol. 58, N 3. P. 377–441.
9. Peaceman D. W., Rachford Jr H. H. The numerical solution of parabolic and elliptic differential equations // Journal of the Society for Industrial and Applied Mathematics. 1955. Vol. 3, N 1. P. 28–41.
10. Benner P., Li R. C., Truhar N. On the ADI method for Sylvester equations // Journal of Computational and Applied Mathematics. 2009. Vol. 233, N 4. P. 1035–1045.
11. Fortunato D., Townsend A. Fast Poisson solvers for spectral methods // IMA Journal of Numerical Analysis. 2020. Vol. 40, N 3. P. 1994–2018.
12. Bartels R. H., Stewart G. W. Algorithm 432 [C2]: Solution of the matrix equation AX + XB = = C [F4] // Communications of the ACM. 1972. Vol. 15, N 9. P. 820–826.
13. Damm T. Direct methods and ADI preconditioned Krylov subspace methods for generalized Lyapunov equations // Numerical Linear Algebra with Applications. 2008. Vol. 15, N 9. P. 853–871.
14. Jbilou K. ADI preconditioned Krylov methods for large Lyapunov matrix equations // Linear algebra and its applications. 2010. Vol. 432, N 10. P. 2473–2485.
15. Волков В. М., Качаловская Е. И. Итерационная реализация спектрального метода Чебышёва для двумерных эллиптических уравнений с переменными коэффициентами // Журнал Белорусского государственного университета. Математика. Информатика. 2023. № 3. С. 53–62.
16. Orszag S. A. Spectral methods for problems in complex geometrics // Numerical methods for partial differential equations. Academic Press, 1979. P. 273–305.
17. Van der Vorst H. A. Bi-CGSTAB: A fast and smoothly converging variant of Bi-CG for the solution of nonsymmetric linear systems // SIAM Journal on scientific and Statistical Computing. 1992. Vol. 13, N 2. P. 631–644.
18. Волков В. М., Проконина Е. В. Разностные схемы и итерационные методы для многомерных эллиптических уравнений со смешанными производными // Весцi Нацыянальнай акадэмii навук Беларусi. Серыя фiзiка-матэматычных навук. 2019. Т. 54, № 4. С. 454–459.
19. Самарский А. А., Мажукин В. И., Матус П. П., Шишкин Г. И. Монотонные разностные схемы для уравнений со смешанными производными // Математическое моделирование. 2001. Т. 13, № 2. С. 17–26.
Рецензия
Для цитирования:
Волков В.М., Дун Ц. О реализации спектрального метода Чебышёва для двумерных эллиптических уравнений со смешанными производными. Труды Института математики НАН Беларуси. 2024;32(2):82-92.
For citation:
Volkov V.M., Dong J. On the implementation of the Chebyshev spectral method for two-dimensional elliptic equations with mixed derivatives. Proceedings of the Institute of Mathematics of the NAS of Belarus. 2024;32(2):82-92. (In Russ.)
Просмотров: 9
Послать статью по эл. почте 