mathnasТруды Института математики НАН БеларусиProceedings of the Institute of Mathematics of the NAS of Belarus1812-5093Институт математики НАН Беларусиmathnas-47Research ArticleМАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫMATHEMATICAL MODELING AND NUMERICAL METHODSО реализации спектрального метода Чебышёва для двумерных эллиптических уравнений со смешанными производнымиOn the implementation of the Chebyshev spectral method for two-dimensional elliptic equations with mixed derivativesВолковВ. М.VolkovV. M.

Минск

Minsk

v.volkov@tut.byДунЦзинхуэйDongJingHui

Минск

Minsk

Белорусский государственный университетBelarusian State University2024030320253228292Copyright © Волков В.М., Дун Ц., 20252025Волков В.М., Дун Ц.Volkov V.M., Dong J.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://mathnas.ejournal.by/jour/article/view/47

Рассмотрены вопросы построения численных алгоритмов на основе спектрального метода Чебышёва для приближенного решения эллиптических уравнений со смешанными производными в прямоугольной области с однородными краевыми условиями Дирихле. Для реализации спектрального метода использован стабилизированный метод би-сопряженных градиентов с переобусловливателями в виде разностных или спектральных аналогов оператора Лапласа. Проведено сравнение эффективности обработки переобусловлевателя с применением итерационного метода переменных направлений и алгоритма Бартелса-Стюарта. Представленные результаты показывают, что рассмотренные алгоритмы демонстрируют вычислительные характеристики, сопоставимые по времени вычислений на сетках одинаковой размерности с характеристиками разностных методов, однако многократно превосходят последние по точности в случае достаточно гладких решений

The issues of constructing numerical algorithms based on the Chebyshev spectral method for approximate solution of elliptic equations with mixed derivatives in a rectangular domain with homogeneous Dirichlet boundary conditions are considered. To implement the spectral method, the biconjugate gradients stabilized method with preconditioners in the form of finite difference or spectral analogs of the Laplace operator is used. A comparison of the efficiency of processing the preconditioner using the iterative method of alternating directions and the Bartels-Stewart algorithm is carried out. The presented results show that the considered algorithms demonstrate computational characteristics comparable in computation time on grids of the same dimension with the characteristics of difference methods, but they are many times superior to the latter in accuracy in the case of sufficiently smooth solutions

спектральный метод Чебышёваэллиптические уравнения со смешанными производнымистабилизированный метод би-сопряженных градиентовметод переменных направленийалгоритм Бартелса-СтюартаChebyshev spectral methodElliptic equations with mixed derivativesbiconjugate gradient stabilized methodalternating directions implicit methodBartels-Stewart algorithmReferencesСамарский А. А., Андреев В. Б. Разностные методы для эллиптических уравнений. М.: Наука, 1976.Samarski A. A., Andreev V. B. Finite-difference methods for elliptical equations. Мoscow, Nauka, 1976 (in Russian).Ciarlet P. G. The finite element method for elliptic problems // Society for Industrial and Applied Mathematics, 2002.Ciarlet P. G. Finite element method for elliptic problems. Society for Industrial and Applied Mathematics, 2002.Самарский А. А., Николаев Е. С. Методы решения сеточных уравнений. M.: Наука, 1978.Samarski A. A., Nikolaev E. S. Methods for Solving Grid Equations. Мoscow, Nauka, 1978 (in Russian).Hackbusch W. Multi-grid methods and applications. Springer Science. Business Media, 2013. Vol. 4.Hackbusch W. Multi-grid methods and applications. Springer Science, Business Media, 2013,vol. 4.D’yakonov E. G. Optimization in solving elliptic problems. CRC Press, 2018.D’yakonov E. G. Optimization in solving elliptic problems. CRC Press, 2018.Boyd J. P. Chebyshev and Fourier spectral methods. Courier Corporation, 2001.Boyd J. P. Chebyshev and Fourier spectral methods. Courier Corporation, 2001.Trefethen L. N. Spectral Methods in MATLAB. Philadelphia: SIAM, 2000.Trefethen L. N.Spectral Methods in MATLAB. Philadelphia, SIAM, 2000.Simoncini V. Computational methods for linear matrix equations // SIAM REVIEW. 2016. Vol. 58, N 3. P. 377–441.Simoncini V. Computational methods for linear matrix equations. SIAM REVIEW, 2016, vol. 58, no. 3, pp. 377–441.Peaceman D. W., Rachford Jr H. H. The numerical solution of parabolic and elliptic differential equations // Journal of the Society for Industrial and Applied Mathematics. 1955. Vol. 3, N 1. P. 28–41.Peaceman D. W., Rachford Jr H. H. The numerical solution of parabolic and elliptic differential equations. Journal of the Society for Industrial and Applied Mathematics, 1955, vol. 3, no. 1, pp. 28–41.Benner P., Li R. C., Truhar N. On the ADI method for Sylvester equations // Journal of Computational and Applied Mathematics. 2009. Vol. 233, N 4. P. 1035–1045.Benner P., Li R. C., Truhar N. On the ADI method for Sylvester equations. Journal of Computational and Applied Mathematics, 2009, vol. 233, no. 4, pp. 1035–1045.Fortunato D., Townsend A. Fast Poisson solvers for spectral methods // IMA Journal of Numerical Analysis. 2020. Vol. 40, N 3. P. 1994–2018.Fortunato D., Townsend A. Fast Poisson solvers for spectral methods. IMA Journal of Numerical Analysis, 2020, vol. 40, no. 3, pp. 1994–2018.Bartels R. H., Stewart G. W. Algorithm 432 [C2]: Solution of the matrix equation AX + XB = = C [F4] // Communications of the ACM. 1972. Vol. 15, N 9. P. 820–826.Bartels R. H., Stewart G. W. Algorithm 432 [C2]: Solution of the matrix equation AX + XB = = C [F4]. Communications of the ACM, 1972, vol. 15, no. 9, pp. 820–826.Damm T. Direct methods and ADI preconditioned Krylov subspace methods for generalized Lyapunov equations // Numerical Linear Algebra with Applications. 2008. Vol. 15, N 9. P. 853–871.Damm T. Direct methods and ADI preconditioned Krylov subspace methods for generalized Lyapunov equations. Numerical Linear Algebra with Applications, 2008, vol. 15, no. 9, pp. 853–871.Jbilou K. ADI preconditioned Krylov methods for large Lyapunov matrix equations // Linear algebra and its applications. 2010. Vol. 432, N 10. P. 2473–2485.Jbilou K. ADI preconditioned Krylov methods for large Lyapunov matrix equations. Linear algebra and its applications, 2010, vol. 432, no. 10, pp. 2473–2485.Волков В. М., Качаловская Е. И. Итерационная реализация спектрального метода Чебышёва для двумерных эллиптических уравнений с переменными коэффициентами // Журнал Белорусского государственного университета. Математика. Информатика. 2023. № 3. С. 53–62.Volkov V. M., Kachalouskaya Е. I. An iterative Chebyshev spectral solver for two-dimensional elliptic equations with variable coefficients. Journal of the Belarusian State University. Mathematics and Informatics, 2023, iss. 3, pp. 53–62 (in Russian).Orszag S. A. Spectral methods for problems in complex geometrics // Numerical methods for partial differential equations. Academic Press, 1979. P. 273–305.Orszag S. A. Spectral methods for problems in complex geometrics. Numerical methods for partial differential equations. Academic Press, 1979, pp. 273–305.Van der Vorst H. A. Bi-CGSTAB: A fast and smoothly converging variant of Bi-CG for the solution of nonsymmetric linear systems // SIAM Journal on scientific and Statistical Computing. 1992. Vol. 13, N 2. P. 631–644.Van der Vorst H. A. Bi-CGSTAB: A fast and smoothly converging variant of Bi-CG for the solution of nonsymmetric linear systems. SIAM Journal on Scientific and Statistical Computing, 1992, vol. 13, no. 2, pp. 631–644.Волков В. М., Проконина Е. В. Разностные схемы и итерационные методы для многомерных эллиптических уравнений со смешанными производными // Весцi Нацыянальнай акадэмii навук Беларусi. Серыя фiзiка-матэматычных навук. 2019. Т. 54, № 4. С. 454–459.Volkov V. M., Prakonina A. U. Finite-difference schemes and iterative methods for multidimensional elliptic equations with mixed derivatives. Proceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics series, 2019, vol. 54, iss. 4, pp. 454–459 (in Russian).Самарский А. А., Мажукин В. И., Матус П. П., Шишкин Г. И. Монотонные разностные схемы для уравнений со смешанными производными // Математическое моделирование. 2001. Т. 13, № 2. С. 17–26.Samarskii A. A., Mazhukin V. I., Matus P. P., Shishkin G. I. Monotone difference schemes for equations with mixed derivatives. Mathematical Modeling, 2001, vol. 13, iss. 2, pp. 17–26.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.