Объектом исследования выступает двумерная автономная дифференциальная система, правые части которой представляют собой однородные многочлены четвертой степени. Предметом исследования являются локальные фазовые портреты такого вида систем. Кратко изложен используемый в исследовании метод Фроммера как один из эффективных инструментов расщепления сложных точек покоя, и приводится краткий обзор известных результатов для нелинейных систем. Целью исследования является получение не только локальных фазовых портретов исследуемых систем, но и коэффициентных условий, при которых такие фазовые портреты существуют. Актуальность работы обоснована незавершенностью получения такого вида коэффициентных критериев в виду сложностей решения алгебраического уравнения пятой степени, возникающего при нахождении возможных конечных мер кривизны $O^+$-кривых исследуемой системы. В основной части статьи для некоторых случаев получены локальные фазовые портреты исследуемой системы и указаны коэффициентные критерии их реализации. В заключении подведены итоги проведенных исследований. Полученные результаты могут быть использованы в дальнейшем исследовании двумерных автономных систем.

1. Баутин Н. Н. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости. М.: Наука, 1990. 488 с.

2. Пуанкаре А. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. М.; Л.: ГИТТЛ, 1947. 392 с.

3. Берлинский А. Н. К вопросу о поведении фазовых кривых вблизи состояний равновесия дифференциальных систем алгебраического вида // Дифференциальные уравнения. 1986. Т. 22, № 5. С. 757–762.

4. Куклес И. С. О методе Фроммера // Известия Академии наук Узбекской ССР. Серия физико-математических наук. 1957. № 4. С. 32–49.

5. Потлов В. В. Поведения интегральных кривых однородного дифференциального уравнения // Ученые записки Рязанского государственного педагогического института. 1960. Т. 24. С. 127–137.

6. Вдовина Э. В. Классификация особых точек уравнения ′ …. методом Форстера // Дифференциальные уравнения. 1984. Т. 20, № 10. С. 1809–1813.

7. Андреев А. Ф. О локальной схеме состояния равновесия // Дифференциальные уравнения. 1970. Т. 6, № 4. С. 677–686.

8. Андреев А. Ф. Особые точки дифференциальных уравнений. Мн.: Выш. школа, 1979. 136 с.

9. Сагалович М. Е. Некоторые классические задачи локальной качественной теории аналитических динамических систем второго порядка: дис. ... канд. физ.-мат. наук: 01.01.02 / Ин-т физики НАН УССР. Киев, 1983. 102 с.

10. Лебедева Л. Н. Качественное исследование одного класса систем дифференциальных уравнений: дис. ... канд. физ.-мат. наук: 01.01.02 / Ленинград. гос. ун-т. Л., 1986. 116 с.

11. Детченя Л. В. Локальные фазовые портреты двумерных аналитических систем с нулевыми линейными и ненулевыми квадратичными частями: дис. ... канд. физ.-мат. наук: 01.01.02 / ГрГУ им. Янки Купалы. Гродно, 2001. 118 с.

12. Амелькин В. В., Лукашевич Н. А., Садовский А. П. Нелинейные колебания в системах второго порядка. Мн.: Изд-во БГУ, 1982. 208 с.

13. Детченя Л. В. Условия монодромности одной дифференциальной системы // Актуальные проблемы анализа: тез. докл. Междунар. математической конф., Гродно, 7–10 апр. 2009 г. Гродно, 2009. C. 128–129.

14. Детченя Л. В. Локальные фазовые портреты одной полиноминальной системы // IX Белорусская математическая конференция: тез. докл. Междунар. конф., Гродно, 3–6 нояб. 2004 г. Гродно, 2004. Ч. 1. C. 120–121.

15. Детченя Л. В. Локальные фазовые портреты дифференциальной системы с нелинейностями четвертой степени // Еругинские чтения – 2011: тез. докл. XIV Междунар. науч. конф. по дифференциальным уравнениям, Новополоцк, 12–14 мая 2011 г. Новополоцк, 2011. C. 47–48.

16. Детченя Л. В., Кузьмич А. В., Чжан Е, Чэнь Ян. О качественном поведении траекторий дифференциальной системы с нелинейностями четвертой степени в окрестности сложной точки покоя // Веснiк Гродзенскага дзяржаўнага ўнiверсiтэта iмя Янкi Купалы. Серыя 2. Матэматыка. Фiзiка. Iнфарматыка, вылiчальная тэхнiка i кiраванне. 2026. Т. 16, № 2. С. 28–38.

17. Frommer M. Uber das Auftreten von Wirbeln und Strudeln (geschlossener und spiraliger Integralkurven) in der Umgebung rationaler Unbestimmtheitsstellen // Mathematische Annalen. 1934. Vol. 109, N 3. P. 395–424.

18. Фроммер М. Интегральные кривые обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка в окрестности особой точки, имеющей рациональный характер // Успехи математических наук. 1941. № 9. С. 212–253.

19. Садовский А. П. Локальная качественная теория дифференциальных уравнений на плоскости: учеб. пособие по спецкурсу. Гродно: ГрГУ, 1986. 98 с.

20. Dumortier F., Libre J., Artes J. C. Qualitative Theory of Planar Differential Systems. Berlin; Heidelberg: Springer-Verlag, 2006.

21. Detchenya L. V., Sadovskii A. P. Local phase portraits of two-dimensional analytical systems principal parts of which do not contain parameters // Buletinul Academiei de Stiinte a Republicii Moldova. Matematica. 1998. N 1(26). P. 145–149.