mathnasТруды Института математики НАН БеларусиProceedings of the Institute of Mathematics of the NAS of Belarus1812-5093Институт математики НАН Беларуси10.67268/1812-5093-2026-34-1s-98-110CBCNWFmathnas-188Research ArticleДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ И ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕDIFFERENTIAL EQUATIONS, DYNAMIC SYSTEMS AND OPTIMAL CONTROLЛокальные фазовые портреты дифференциальной системы с нелинейностями четвертой степени в окрестности сложной точки покояLocal phase portraits of a differential system with fourth-degree nonlinearities in the neighborhood of multiple equilibrium pointДетченяЛ. В.DetchenyaL. V.

Гродно

Grodno

detchenya_lv@grsu.byГриньА. А.GrinA. A.

Гродно

Grodno

grin@grsu.byКузьмичA. B.KuzmichA. V.

Гродно

Grodno

kuzmich_av@grsu.byМусафировЭ. В.MusafirovE. V.

Гродно

Grodno

musafirov_ev@grsu.byГродненский государственный университет имени Янки КупалыБеларусьYanka Kupala State University of GrodnoBelarus202607112026341s98110Copyright © Детченя Л.В., Гринь А.А., Кузьмич A.B., Мусафиров Э.В., 20262026Детченя Л.В., Гринь А.А., Кузьмич A.B., Мусафиров Э.В.Detchenya L.V., Grin A.A., Kuzmich A.V., Musafirov E.V.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://mathnas.ejournal.by/jour/article/view/188

Объектом исследования выступает двумерная автономная дифференциальная система, правые части которой представляют собой однородные многочлены четвертой степени. Предметом исследования являются локальные фазовые портреты такого вида систем. Кратко изложен используемый в исследовании метод Фроммера как один из эффективных инструментов расщепления сложных точек покоя, и приводится краткий обзор известных результатов для нелинейных систем. Целью исследования является получение не только локальных фазовых портретов исследуемых систем, но и коэффициентных условий, при которых такие фазовые портреты существуют. Актуальность работы обоснована незавершенностью получения такого вида коэффициентных критериев в виду сложностей решения алгебраического уравнения пятой степени, возникающего при нахождении возможных конечных мер кривизны $O^+$-кривых исследуемой системы. В основной части статьи для некоторых случаев получены локальные фазовые портреты исследуемой системы и указаны коэффициентные критерии их реализации. В заключении подведены итоги проведенных исследований. Полученные результаты могут быть использованы в дальнейшем исследовании двумерных автономных систем.

The object of the investigation is a two-dimensional autonomous differential system whose right-hand sides are homogeneous polynomials of the fourth degree. The subject of the study is local phase portraits of this type of systems. The Frommer method used in the study is briefly described as one of the effective tools for splitting multiple equilibrium points, and a brief review of the known results for nonlinear systems is provided. The goal of the study is to obtain not only the local phase portraits of the systems under investigation but also the coefficient conditions under which such phase portraits exist. The relevance of the work is justified by the incompleteness of obtaining this type of coefficient criteria due to the difficulties in solving an algebraic equation of the fifth degree, which arises when finding possible finite measures of curvature of the $O^+$-curves of the system under study. In the main part of the paper, local phase portraits of the system under study are obtained for some cases and coefficient criteria for their implementation are indicated. The results of the research are summarized in the conclusion. The obtained results can be used in further research of two-dimensional autonomous systems.

метод Фроммерадиаграмма Ньютонатраекториясложная точка покоямера кривизныпорядок кривизнылокальный фазовый портретFrommer methodNewton diagramtrajectorymultiple equilibrium pointmeasure of curvatureorder of curvaturelocal phase portraitРабота выполнена при финансовой поддержке Белорусского республиканского фонда фундаментальных исследований (проект Ф25КИ-087).ReferencesБаутин Н. Н. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости. М.: Наука, 1990. 488 с.Bautin N. N. Methods and Techniques for the Qualitative Analysis of Dynamic Systems in the Plane. Moscow, Science, 1990. 488 p. (in Russian).Пуанкаре А. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. М.; Л.: ГИТТЛ, 1947. 392 с.Poincare A. On curves determined by differential equations. Moscow, Leningrad, State Publishing House of Technical and Theoretical Literature, 1947. 392 p. (in Russian).Берлинский А. Н. К вопросу о поведении фазовых кривых вблизи состояний равновесия дифференциальных систем алгебраического вида // Дифференциальные уравнения. 1986. Т. 22, № 5. С. 757–762.Berlinskiy A. N. On the behavior of phase curves near equilibrium states of differential systems of algebraic type. Differential Equations, 1986, vol. 22, no. 5, pp. 757–762 (in Russian).Куклес И. С. О методе Фроммера // Известия Академии наук Узбекской ССР. Серия физико-математических наук. 1957. № 4. С. 32–49.Kukles I. S. About Frommer’s method. Bulletin of the Academy of Sciences of the Uzbek SSR. Series on Physical and Mathematical Sciences, 1957, no. 4, pp. 32–49 (in Russian).Потлов В. В. Поведения интегральных кривых однородного дифференциального уравнения // Ученые записки Рязанского государственного педагогического института. 1960. Т. 24. С. 127–137.Potlov V. V. Behavior of integral curves of a homogeneous differential equation. Scientific Notes of the Ryazan State Pedagogical Institute, 1960, vol. 24, pp. 127–137 (in Russian).Вдовина Э. В. Классификация особых точек уравнения ′ …. методом Форстера // Дифференциальные уравнения. 1984. Т. 20, № 10. С. 1809–1813.Vdovina E. V. Classification of singular points of the equation ′ … by Forster’s method. Differential Equations, 1984, vol. 20, no. 10, pp. 1809–1813 (in Russian).Андреев А. Ф. О локальной схеме состояния равновесия // Дифференциальные уравнения. 1970. Т. 6, № 4. С. 677–686.Andreev A. F. On the local equilibrium state scheme. Differential Equations, 1970, vol. 6, no. 4, pp. 677–686 (in Russian).Андреев А. Ф. Особые точки дифференциальных уравнений. Мн.: Выш. школа, 1979. 136 с.Andreev A. F. Singular Points of Differential Equations. Minsk, Higher School, 1979. 136 p. (in Russian).Сагалович М. Е. Некоторые классические задачи локальной качественной теории аналитических динамических систем второго порядка: дис. ... канд. физ.-мат. наук: 01.01.02 / Ин-т физики НАН УССР. Киев, 1983. 102 с.Sagalovich M. E. Some Classical Problems of Local Qualitative Theory of Second-order Analytical Dynamic Systems. Ph. D. thesis. Kyiv, 1983, 102 p. (in Russian).Лебедева Л. Н. Качественное исследование одного класса систем дифференциальных уравнений: дис. ... канд. физ.-мат. наук: 01.01.02 / Ленинград. гос. ун-т. Л., 1986. 116 с.Lebedeva L. N. A Qualitative Study of One Class of Systems of Differential Equations. Ph. D. thesis. Leningrad, 1986, 116 p. (in Russian).Детченя Л. В. Локальные фазовые портреты двумерных аналитических систем с нулевыми линейными и ненулевыми квадратичными частями: дис. ... канд. физ.-мат. наук: 01.01.02 / ГрГУ им. Янки Купалы. Гродно, 2001. 118 с.Detchenya L. V. Local Phase Portraits of Two-dimensional Analytical Systems with Zero Linear and Non-zero Quadratic Parts. Ph. D. thesis. Grodno, 2001, 118 p. (in Russian).Амелькин В. В., Лукашевич Н. А., Садовский А. П. Нелинейные колебания в системах второго порядка. Мн.: Изд-во БГУ, 1982. 208 с.Amel’kin V. V., Lukashevich N. A., Sadovskii A. P. Nonlinear Oscillations in Second-order Systems. Minsk, BSU, 1982. 208 p. (in Russian).Детченя Л. В. Условия монодромности одной дифференциальной системы // Актуальные проблемы анализа: тез. докл. Междунар. математической конф., Гродно, 7–10 апр. 2009 г. Гродно, 2009. C. 128–129.Detchenya L. V. Monodromy conditions for one differential system. Abstract of the Report of the International Mathematical Conference: Current issues of analysis (April 7–10, 2009, Grodno). Grodno, 2009, pp. 128–129 (in Russian).Детченя Л. В. Локальные фазовые портреты одной полиноминальной системы // IX Белорусская математическая конференция: тез. докл. Междунар. конф., Гродно, 3–6 нояб. 2004 г. Гродно, 2004. Ч. 1. C. 120–121.Detchenya L. V. Local phase portraits of one polynomial system. Abstract of the Report of the International Conference: IX Belarusian Mathematical Conference (Nov. 3–6, 2004, Grodno). Grodno, 2004, part 1, pp. 120–121 (in Russian).Детченя Л. В. Локальные фазовые портреты дифференциальной системы с нелинейностями четвертой степени // Еругинские чтения – 2011: тез. докл. XIV Междунар. науч. конф. по дифференциальным уравнениям, Новополоцк, 12–14 мая 2011 г. Новополоцк, 2011. C. 47–48.Detchenya L. V. Local phase portraits of a differential system with fourth-degree nonlinearities. Abstract of the Report of the XIV International Conference on Differential Equations: Erugin Readings – 2011 (May 12–14, 2011, Novopolotsk). Novopolotsk, 2011, pp. 47–48 (in Russian).Детченя Л. В., Кузьмич А. В., Чжан Е, Чэнь Ян. О качественном поведении траекторий дифференциальной системы с нелинейностями четвертой степени в окрестности сложной точки покоя // Веснiк Гродзенскага дзяржаўнага ўнiверсiтэта iмя Янкi Купалы. Серыя 2. Матэматыка. Фiзiка. Iнфарматыка, вылiчальная тэхнiка i кiраванне. 2026. Т. 16, № 2. С. 28–38.Detchenya L. V., Kuzmich A. V., Zhang Ye, Chen Y. On the qualitative behavior of trajectories of a differential quartic system in the neighborhood of multiple equilibrium point. Vesnik of Yanka Kupala State University of Grodno. Series 2. Mathematics. Physics. Informatics, computer technology and its control, 2026, vol. 16, no. 2, pp. 28–38 (in Russian).Frommer M. Uber das Auftreten von Wirbeln und Strudeln (geschlossener und spiraliger Integralkurven) in der Umgebung rationaler Unbestimmtheitsstellen // Mathematische Annalen. 1934. Vol. 109, N 3. P. 395–424.Frommer M. Uber das Auftreten von Wirbeln und Strudeln (geschlossener und spiraliger Integralkurven) in der Umgebung rationaler Unbestimmtheitsstellen. Mathematische Annalen, 1934, vol. 109, no. 3, pp. 395–424.Фроммер М. Интегральные кривые обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка в окрестности особой точки, имеющей рациональный характер // Успехи математических наук. 1941. № 9. С. 212–253.Frommer M. Integral curves of an ordinary differential equation of the first order in the neighborhood of a singular point of rational character. Advances in Mathematical Sciences, 1941, no. 9, pp. 212–253 (in Russian).Садовский А. П. Локальная качественная теория дифференциальных уравнений на плоскости: учеб. пособие по спецкурсу. Гродно: ГрГУ, 1986. 98 с.Sadovskii A. P. Local qualitative theory of differential equations on a plane: a textbook for a special course. Grodno, GrSU, 1986. 98 p. (in Russian).Dumortier F., Libre J., Artes J. C. Qualitative Theory of Planar Differential Systems. Berlin; Heidelberg: Springer-Verlag, 2006.Dumortier F., Libre J., Artes J. C. Qualitative Theory of Planar Differential Systems. Berlin, Heidelberg, Springer-Verlag, 2006.Detchenya L. V., Sadovskii A. P. Local phase portraits of two-dimensional analytical systems principal parts of which do not contain parameters // Buletinul Academiei de Stiinte a Republicii Moldova. Matematica. 1998. N 1(26). P. 145–149.Detchenya L. V., Sadovskii A. P. Local phase portraits of an analytical system with a non-zero quadratic part in a special case. Buletinul Academiei de Stiinte a Republicii Moldova. Matematica, 1998, no. 1(26), pp. 145–149.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.