В данной статье рассматривается задача векторной оптимизации с неопределенным отношением предпочтения. Неопределенность обусловлена тем, что известно лишь семейство $\mathcal{P}$ отношений предпочтения, одно из которых реализуется на самом деле, причем конкретная реализация неизвестна. В качестве оптимального решения данной задачи в работе предлагается рассматривать такие допустимые решения, которые доставляют целевому отображению гарантированный (слабый, сильный) максимум относительно семейства $\mathcal{P}$, т.е. такие, которые доставляют отображению (слабый, сильный) максимум при любой конкретной реализации отношения предпочтения из $\mathcal{P}$. При некоторых предположениях относительно семейства $\mathcal{P}$ доказана теорема о скаляризации данной задачи векторной оптимизации при помощи разностно сублинейных функций. Эта теорема используется затем при выводе необходимых, а также достаточных условий первого и второго порядка гарантированной $\mathcal{P}$-максимальности допустимых решений. При этом необходимые условия получены для решений, доставляющих гарантированный слабый $\mathcal{P}$-максимум, а достаточные условия для решений, доставляющих гарантированный сильный $\mathcal{P}$-максимум.

1. Гороховик В. В. Выпуклые и негладкие задачи векторной оптимизации. Минск: Наука и техника, 1990. 239 с.

2. Jahn J. Vector Optimization. Theory, Applications, and Extensions, 2ed. Berlin; Heidelberg: Springer, 2011.

3. Гороховик В. В. Условия минимальности в задачах векторной оптимизации с нетелесным конусом положительных элементов // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2012. Т. 52, № 7. С. 1192–1214.

4. Jameson G. Ordered Linear Spaces. Berlin: Springer, 1970. 194 p.

5. Peressini A. L. Ordered Topological Vector Spaces. New York: Harper and Row, 1067. 228 p.

6. Куржанский, А. Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. М.: Наука, 1977. 390 с.

7. Куржанский А. Б. Задача идентификации – теория гарантированных оценок // Автоматика и телемеханика. 1991. № 4. С. 3–26.

8. Гороховик В. В. К условиям локального минимума второго порядка в гладких задачах оптимизации с абстрактными ограничениями // Известия НАН Беларуси, Сер. физ.-мат. наук. 2005. № 3. С. 5–12.

9. Гороховик В. В. Асимптотически касательный конус второго порядка к множествам и условия локального минимума в задаче оптимизации с ограничениями // Вестн. Санкт-Петербургского ун-та. Серия «Информатика и теория управления». 2006. Вып. 1. С. 34–41.

10. Гороховик В. В. Касательные векторы второго порядка к множествам и условия минимальности для точек подмножеств упорядоченных нормированных пространств // Тр. Ин-та математики. 2006. Т. 14, № 2. С. 35–47.

11. Бахтин В. И., Гороховик В. В. Условия оптимальности первого и второго порядков в задачах векторной оптимизации на метрических пространствах // Труды Института математики и механики Уральского отделения РАН. 2009. Т. 15, № 4. С. 32–43.

12. Gorokhovik V. V., Gorokhovik S. Ya., Marinkovic B. Necessary optimality conditions for a smooth discrete optimal control problem with vector-valued objective function // Positivity. 2013. Vol. 17. P. 483–500.

13. Penot J. P. Second order conditions for optimization problems with constraints // SIAM J. Control and Optimization. 1998. Vol. 37, N 1. P. 303–318.

14. Jime´nez B. Strict efficiency in vector optimization // J. Math. Anal. Appl. 2002. Vol. 265. P. 264–284.

15. Jime´nez B., Novo V. Second-order necessary conditions in set constrained differentiable vector optimization // Math. Methods Oper. Res. 2003. Vol. 58. P. 299–317.

16. Jime´nez B., Novo V. Optimality conditions in differentiable vector optimization via second-order tangent sets // Appl. Math. Optim. 2004. Vol. 49. P. 123–144.

17. Gfrerer H. Second-order optimality conditions for scalar and vector optimization problems in Banach spaces // SIAM J. Control Optim. 2006. Vol. 45, N 3. P. 972–997.

18. Gfrerer H. Second-order necessary conditions for nonlinear optimization problems with abstract constraints: The degenerate case // SIAM J. Optimization. 2007. Vol. 18, N 2. P. 589–612.

19. Gutie´rrez C., Jime´nez B., Novo V. On second-order Fritz John type optimality conditions in nonsmooth multiobjective programming // Math. Program., Ser. B. 2010. Vol. 123. P. 199–223.

20. Shapiro A. Quasidufferential calculus and first-order optimality conditions in nonsmooth optimization // Mathematical Programming Study. 1986. Vol. 29. P. 56–68.

21. Демьянов В. Ф., Рубинов А. М. О квазидифференцируемых функционалах // Доклады АН СССР. 1980. Т. 250, № 1. С. 21–25.

22. Gorokhovik V. V. ε–Quasidufferentiability of real-valued functions and optimality conditions in extremal problems // Mathematical Programming Study. 1986. Vol. 29. P. 203–218.

23. Демьянов В. Ф., Рубинов А. М. Основы негладкого анализа и квазидифференциальное исчисление. М.: Наука, 1990. 479 с.

24. Hiriart-Urruty J. B. Tangent cones, generalized gradients, and mathematical programming in Banach spaces // Math. Oper. Research. 1979. Vol. 4, N 1. P. 79–97.

25. Hiriart-Urruty J. B. New concepts in nondifferentiable programming // Bull. Soc. Math. France Me´m. 1979. Vol. 60. P. 57–85.

26. Демьянов В. Ф., Рубинов А. М. Приближенные методы решения экстремальных задач. Л.: Изд-во Ленинградского ун-та, 1968. 180 с.

27. Алексеев В. М., Тихомиров В. М., Фомин С. В. Оптимальное управление. М.: Наука, 1979. 430 с.

28. Дубовицкий А. Я., Милютин А. А. Задачи на экстремум при наличии ограничений // Журн. вычисл. мат. и мат. физики. 1965. Т. 5, № 3. С. 395–453.

29. Rockafellar R. T., Wets R. J-B. Variational Analysis. Berlin: Springer Verlag, 1998. 717 p.

30. Aubin J.-P., Frankowska H. Set-Valued Analysis. Boston: Birkhauser, 1990. 461 p.

31. Bonnans J. F., Cominetti R., Shapiro A. Second order optimality conditions based on parabolic second order tangent sets // SIAM J. Optimization. 1999. Vol. 9, N 2. P. 466–492.

32. Bonnans J. F., Shapiro A. Perturbation Analysis of Optimization Problems. Berlin: Springer, 2000. 601 p.

33. Гороховик В. В. Конечномерные задачи оптимизации. Минск: Изд. центр БГУ, 2007. 239 с.

34. Красносельский М. А., Вайникко Г. М., Забрейко П. А., Рутицкий Я. Б. и др. Приближенные решения операторных уравнений. М.: Наука, 1969. 456 с.

35. Ben-Tal A. Second order and related extremality conditions in nonlinear programming // J. Optim. Theory and Appl. 1980. Vol. 31, N 2. P. 143–165.

36. Ben-Tal A., Zowe J. A unified theory of first and second order conditions for extremum problems in topological vector spaces // Math. Programming Study. 1982. Vol. 19. P. 39–76.