mathnasТруды Института математики НАН БеларусиProceedings of the Institute of Mathematics of the NAS of Belarus1812-5093Институт математики НАН Беларуси10.67268/1812-5093-2026-34-1s-81-97ABKLPVmathnas-187Research ArticleДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ И ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕDIFFERENTIAL EQUATIONS, DYNAMIC SYSTEMS AND OPTIMAL CONTROLУсловия оптимальности первого и второго порядка в задаче векторной оптимизации с неопределенным отношением предпочтенияFirst and second-order optimality conditions in a vector optimization problem with an uncertain preference relationГороховикВ. В.GorokhovikV. V.

Минск

Minsk

gorokh@im.bas-net.byИнститут математики НАН БеларусиБеларусьInstitute of Mathematics of the National Academy of Sciences of BelarusBelarus202607112026341s8197Copyright © Гороховик В.В., 20262026Гороховик В.В.Gorokhovik V.V.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://mathnas.ejournal.by/jour/article/view/187

В данной статье рассматривается задача векторной оптимизации с неопределенным отношением предпочтения. Неопределенность обусловлена тем, что известно лишь семейство $\mathcal{P}$ отношений предпочтения, одно из которых реализуется на самом деле, причем конкретная реализация неизвестна. В качестве оптимального решения данной задачи в работе предлагается рассматривать такие допустимые решения, которые доставляют целевому отображению гарантированный (слабый, сильный) максимум относительно семейства $\mathcal{P}$, т.е. такие, которые доставляют отображению (слабый, сильный) максимум при любой конкретной реализации отношения предпочтения из $\mathcal{P}$. При некоторых предположениях относительно семейства $\mathcal{P}$ доказана теорема о скаляризации данной задачи векторной оптимизации при помощи разностно сублинейных функций. Эта теорема используется затем при выводе необходимых, а также достаточных условий первого и второго порядка гарантированной $\mathcal{P}$-максимальности допустимых решений. При этом необходимые условия получены для решений, доставляющих гарантированный слабый $\mathcal{P}$-максимум, а достаточные условия для решений, доставляющих гарантированный сильный $\mathcal{P}$-максимум.

In this paper we consider a vector optimization problem with an uncertain preference relation. The uncertainty arises from the fact that only a family $\mathcal{P}$ of preference relations is known, one of which is actually realized, while the concrete realization is unknown. As an optimal solution of this problem, we propose to consider such admissible solutions that provide the objective mapping with the guaranteed (weak, strong) maximum relative to the family $\mathcal{P}$, i.e., those that provide the objective mapping with (weak, strong) maximum for any concrete realization of the preference relation from $\mathcal{P}$. Under some assumptions regarding the family $\mathcal{P}$, a theorem on the scalarization of this vector optimization problem by means of difference sublinear functions is proved. Then this theorem is used for deriving first- and second-order necessary and sufficient conditions for admissible solutions that provide the objective mapping with the guaranteed $\mathcal{P}$-maximum. The necessary conditions are established for solutions that provide the guaranteed weak $\mathcal{P}$-maximum, while the sufficient conditions are established for solutions that provide the guaranteed strong $\mathcal{P}$-maximum.

векторная оптимизацияотношение предпочтениянеопределенностьскаляризация$H$-дифференцируемость по направлениямвторая производная по Фреше–Тэйлоруусловия оптимальности первого и второго порядковvector optimizationpreference relationuncertaintyscalarizationHadamard directionally differentiabilitysecond Frechet–Taylor derivativefirst- and second-order optimality conditionsРабота поддержана Институтом математики НАН Беларуси в рамках государственной программы научных исследований «Конвергенция–2030».ReferencesГороховик В. В. Выпуклые и негладкие задачи векторной оптимизации. Минск: Наука и техника, 1990. 239 с.Gorokhovik V. V. Convex and Nonsmooth Problems of Vector Optimization. Minsk: Nawuka i Tekhnika, 1990. 239 p. (in Russian).Jahn J. Vector Optimization. Theory, Applications, and Extensions, 2ed. Berlin; Heidelberg: Springer, 2011.Jahn J. Vector Optimization. Theory, Applications, and Extensions, 2 ed. Berlin, Heidelberg, Springer, 2011.Гороховик В. В. Условия минимальности в задачах векторной оптимизации с нетелесным конусом положительных элементов // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2012. Т. 52, № 7. С. 1192–1214.Gorokhovik V. V. Optimality conditions in vector optimization problems withh non-solid cone of positive elements. Journal of Computational Mathematics and Mathematical Physics, 2012, vol. 52, no. 7, pp. 1192–1214 (in Russian).Jameson G. Ordered Linear Spaces. Berlin: Springer, 1970. 194 p.Jameson G. Ordered Linear Spaces. Berlin, Springer, 1970. 194 p.Peressini A. L. Ordered Topological Vector Spaces. New York: Harper and Row, 1067. 228 p.Peressini A. L. Ordered Topological Vector Spaces. New York, Harper and Row, 1067. 228 p.Куржанский, А. Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. М.: Наука, 1977. 390 с.Kurzhanski A. B. Control and Observation under Uncertainty. Moscow, Nauka, 1977. 390 p. (in Russian).Куржанский А. Б. Задача идентификации – теория гарантированных оценок // Автоматика и телемеханика. 1991. № 4. С. 3–26.Kurzhanski A. B. The identification problem: the theory of guaranteed estimates. Automation and Remote Control, 1991, no. 4, pp. 3–26 (in Russian).Гороховик В. В. К условиям локального минимума второго порядка в гладких задачах оптимизации с абстрактными ограничениями // Известия НАН Беларуси, Сер. физ.-мат. наук. 2005. № 3. С. 5–12.Gorokhovik V. V. On second-order local minimum conditions in smooth optimization problems with abstract constraints. Proceedings of National Academy of Sciences of Belarus, Ser. Phiz.-Math. nawuk, 2005, no. 3, pp. 5–12 (in Russian).Гороховик В. В. Асимптотически касательный конус второго порядка к множествам и условия локального минимума в задаче оптимизации с ограничениями // Вестн. Санкт-Петербургского ун-та. Серия «Информатика и теория управления». 2006. Вып. 1. С. 34–41.Gorokhovik V. V. Second-order asymptotically tangent cone to sets and local minimum conditions for an optimization problem with constraints. Vestnik St.-Pitersburg University. Ser. ‘Informatika and control theory’, 2006, iss. 1, pp. 34–41 (in Russian).Гороховик В. В. Касательные векторы второго порядка к множествам и условия минимальности для точек подмножеств упорядоченных нормированных пространств // Тр. Ин-та математики. 2006. Т. 14, № 2. С. 35–47.Gorokhovik V. V. Second-order tangent vectors to sets and minimality conditions for points of subsets of ordered normed spaces. Trudy Instituta Matematiki, 2006, vol. 14, no. 2, pp. 35–47 (in Russian).Бахтин В. И., Гороховик В. В. Условия оптимальности первого и второго порядков в задачах векторной оптимизации на метрических пространствах // Труды Института математики и механики Уральского отделения РАН. 2009. Т. 15, № 4. С. 32–43.Bakhtin V. I., Gorokhovik V. V. Firstand second-order optimality conditions in vector optimization problems on metric spaces. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2009, vol. 15, no. 4, pp. 32–43 (in Russian).Gorokhovik V. V., Gorokhovik S. Ya., Marinkovic B. Necessary optimality conditions for a smooth discrete optimal control problem with vector-valued objective function // Positivity. 2013. Vol. 17. P. 483–500.Gorokhovik V. V., Gorokhovik S. Ya., Marinkovic B. Necessary optimality conditions for a smooth discrete optimal control problem with vector-valued objective function. Positivity, 2013, vol. 17, pp. 483–500.Penot J. P. Second order conditions for optimization problems with constraints // SIAM J. Control and Optimization. 1998. Vol. 37, N 1. P. 303–318.Penot J. P. Second order conditions for optimization problems with constraints. SIAM J. Control and Optimization, 1998, vol. 37, no. 1, pp. 303–318.Jime´nez B. Strict efficiency in vector optimization // J. Math. Anal. Appl. 2002. Vol. 265. P. 264–284.Jime´nez B. Strict efficiency in vector optimization. J. Math. Anal. Appl., 2002, vol. 265. pp. 264–284.Jime´nez B., Novo V. Second-order necessary conditions in set constrained differentiable vector optimization // Math. Methods Oper. Res. 2003. Vol. 58. P. 299–317.Jime´nez B., Novo V. Second-order necessary conditions in set constrained differentiable vector optimization. Math. Methods Oper. Res., 2003, vol. 58, pp. 299–317.Jime´nez B., Novo V. Optimality conditions in differentiable vector optimization via second-order tangent sets // Appl. Math. Optim. 2004. Vol. 49. P. 123–144.Jime´nez B., Novo V. Optimality conditions in differentiable vector optimization via second-order tangent sets. Appl. Math. Optim., 2004, vol. 49, pp. 123–144.Gfrerer H. Second-order optimality conditions for scalar and vector optimization problems in Banach spaces // SIAM J. Control Optim. 2006. Vol. 45, N 3. P. 972–997.Gfrerer H. Second-order optimality conditions for scalar and vector optimization problems in Banach spaces. SIAM J. Control Optim., 2006, vol. 45, no. 3, pp. 972–997.Gfrerer H. Second-order necessary conditions for nonlinear optimization problems with abstract constraints: The degenerate case // SIAM J. Optimization. 2007. Vol. 18, N 2. P. 589–612.Gfrerer H. Second-order necessary conditions for nonlinear optimization problems with abstract constraints: The degenerate case. SIAM J. Optimization, 2007, vol. 18, no. 2, pp. 589–612.Gutie´rrez C., Jime´nez B., Novo V. On second-order Fritz John type optimality conditions in nonsmooth multiobjective programming // Math. Program., Ser. B. 2010. Vol. 123. P. 199–223.Gutie´rrez C., Jime´nez B., Novo V. On second-order Fritz John type optimality conditions in nonsmooth multiobjective programming. Math. Program., Ser. B., 2010, vol. 123. pp. 199–223.Shapiro A. Quasidufferential calculus and first-order optimality conditions in nonsmooth optimization // Mathematical Programming Study. 1986. Vol. 29. P. 56–68.Shapiro A. Quasidufferential calculus and first-order optimality conditions in nonsmooth optimization. Mathematical Programming Study, 1986, vol. 29, pp. 56–68.Демьянов В. Ф., Рубинов А. М. О квазидифференцируемых функционалах // Доклады АН СССР. 1980. Т. 250, № 1. С. 21–25.Demyanov V. F., Rubinov A. M. On quasidifferentiable functionals. Doklady of the Academy of Sci. of USSR, 1980, vol. 250, no. 1, pp. 21–25 (in Russian).Gorokhovik V. V. ε–Quasidufferentiability of real-valued functions and optimality conditions in extremal problems // Mathematical Programming Study. 1986. Vol. 29. P. 203–218.Gorokhovik V. V. ε-Quasidufferentiability of real-valued functions and optimality conditions in extremal problems. Mathematical Programming Study, 1986, vol. 29, pp. 203–218.Демьянов В. Ф., Рубинов А. М. Основы негладкого анализа и квазидифференциальное исчисление. М.: Наука, 1990. 479 с.Demyanov V. F., Rubinov A. M. Fundamentals of Nonsmooth Analysis and Quasidifferential Calculus. Moscow, Nauka, 1990. 479 p. (in Russian).Hiriart-Urruty J. B. Tangent cones, generalized gradients, and mathematical programming in Banach spaces // Math. Oper. Research. 1979. Vol. 4, N 1. P. 79–97.Hiriart-Urruty J. B. Tangent cones, generalized gradients, and mathematical programming in Banach spaces. Math. Oper. Research, 1979, vol. 4, no. 1, pp. 79–97.Hiriart-Urruty J. B. New concepts in nondifferentiable programming // Bull. Soc. Math. France Me´m. 1979. Vol. 60. P. 57–85.Hiriart-Urruty J. B. New concepts in nondifferentiable programming. Bull. Soc. Math. France Me´m., 1979, vol. 60, pp. 57–85.Демьянов В. Ф., Рубинов А. М. Приближенные методы решения экстремальных задач. Л.: Изд-во Ленинградского ун-та, 1968. 180 с.Demyanov V. F., Rubinov A. M. Approximate Methods for Solving Extremal Problems. Leningrad, Leningrad University Press, 1968. 180 p. (in Russian).Алексеев В. М., Тихомиров В. М., Фомин С. В. Оптимальное управление. М.: Наука, 1979. 430 с.Alekseev V. M., Tikhomirov V. M., Fomin S. V. Optimal Control. Moscow, Nauka, 1979. 430 p. (in Russian).Дубовицкий А. Я., Милютин А. А. Задачи на экстремум при наличии ограничений // Журн. вычисл. мат. и мат. физики. 1965. Т. 5, № 3. С. 395–453.Dubovitskii A. Ya., Milyutin A. A. Extremum problems under constraints. Journal of Computational Mathematics and Mathematical Physics, 1965, vol. 5, no. 3, pp. 395–453 (in Russian).Rockafellar R. T., Wets R. J-B. Variational Analysis. Berlin: Springer Verlag, 1998. 717 p.Rockafellar R. T., Wets R. J-B. Variational Analysis. Berlin, Springer Verlag, 1998. 717 p.Aubin J.-P., Frankowska H. Set-Valued Analysis. Boston: Birkhauser, 1990. 461 p.Aubin J.-P., Frankowska H. Set-Valued Analysis. Boston, Birkhauser, 1990. 461 p.Bonnans J. F., Cominetti R., Shapiro A. Second order optimality conditions based on parabolic second order tangent sets // SIAM J. Optimization. 1999. Vol. 9, N 2. P. 466–492.Bonnans J. F., Cominetti R., Shapiro A. Second order optimality conditions based on parabolic second order tangent sets. SIAM J. Optimization, 1999, vol. 9, no. 2, pp. 466–492.Bonnans J. F., Shapiro A. Perturbation Analysis of Optimization Problems. Berlin: Springer, 2000. 601 p.Bonnans J. F., Shapiro A. Perturbation Analysis of Optimization Problems. Berlin, Springer, 2000. 601 p.Гороховик В. В. Конечномерные задачи оптимизации. Минск: Изд. центр БГУ, 2007. 239 с.Gorokhovik V. V. Finite-dimensional Optimization Problems. Minsk, Press Center of BSU, 2007. 239 p. (in Russian).Красносельский М. А., Вайникко Г. М., Забрейко П. А., Рутицкий Я. Б. и др. Приближенные решения операторных уравнений. М.: Наука, 1969. 456 с.Krasnoselski M. A., Vajnikko G. M., Zabreiko P. P., Rutitski Ya. B. et al. Approximate Solutions of Operator Equations. Moscow, Nauka, 1969. 456 p. (in Russian).Ben-Tal A. Second order and related extremality conditions in nonlinear programming // J. Optim. Theory and Appl. 1980. Vol. 31, N 2. P. 143–165.Ben-Tal A. Second order and related extremality conditions in nonlinear programming. J. Optim. Theory and Appl., 1980. vol. 31, no. 2, pp. 143–165.Ben-Tal A., Zowe J. A unified theory of first and second order conditions for extremum problems in topological vector spaces // Math. Programming Study. 1982. Vol. 19. P. 39–76.Ben-Tal A., Zowe J. A unified theory of first and second order conditions for extremum problems in topological vector spaces. Math. Programming Study, 1982, vol. 19, pp. 39–76.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.