В статье представлено обобщение дискретных 2D систем Россера и Форназини–Маркезини на непрерывный случай. Получены формулы для представления решений линейных непрерывных $2\mathrm{D}$ систем, в том числе указана возможность расширения методов операционного исчисления путем построения соответствующих интегральных преобразований по пространственной переменной. Рассмотрены линейно-квадратичные задачи оптимизации, для которых получены соответствующие условия оптимальности и форма представления оптимального управления.

1. Bose N. K. Applied Multidimensional System Theory. New York: Van Nostrand Reinhold, 1982.

2. Морф М., Леви Б. С., Гуп С. Ю. Новые результаты теории двумерных систем // ТИЭР. 1997. Т. 65, № 6. C. 157–176.

3. Прэтт Y. Цифровая обработка изображений. М.: Наука, 1995. Т. 1–2. 720 с.

4. Wood J., Oberst U., Rogers E., Owens D. A behavioural approach to the pole structure of 1D and nD linear systems // SIAM Journal of Control and Optimization. 2000. Vol. 32, N 8. P. 627–661.

5. Roesser R. P. A state-space model for linear image processing // IEEE Transactions on Automatic Control. 1975. Vol. AC-20, N 1. P. 1–10.

6. Fornasini E., Marchesini G. Doubly indexed dynamical systems: state-space models and structural properties // Mathematical Systems Theory. 1975. Vol. 12. P. 59–72.

7. Гайшун И. В. Многопараметрические системы управления. Мн.: Наука и техника, 1996. 200 с.

8. Дымков М. П. Экстремальные задачи в многопараметрических системах управления. Мн.: Изд-во БГЭУ, 2005. 363 с.

9. Rogers E., Galkowski K., Owens D. H. Control Systems Theory and Applications for Linear Repetitive Processes. Springer Verlag LNCIS, 2007. N 349.

10. Dymkov M., Gaishun I., Rogers E., Galkowski K., Owens D. H. Exponential stability of discrete linear repetitive processes // Int. J. Control. 2002. Vol. 75, N 12. P. 861–869.

11. Dymkov M., Gaishun I., Rogers E., Galkowski K., Owens D. H. z-Transform and VolterraOperator based Approaches to Controllability and Observability Analysis for Discrete Linear Repetitive Processes // Multidimensional Systen and Signal Processing. 2003. Vol. 14, N 4. P. 365–395.

12. Dymkov M., Rogers E., Dymkou S., Galkowski K. Constrained optimal control theory for differential linear repetitive processes // SIAM Journal on Control and Optimization. 2008. Vol. 47, N 1. P. 396–420.

13. Petrovskii I. G. Selected Works: Systems of partial differential equations and algebraic geometry. Gordon and Breach Publishers, 1996.

14. Лурье K. A. Оптимальное управление в задачах математической физики. М.: Наука, 1975. 478 с.

15. Гайшун И. В. Вполне разрешимые многомерные дифференциальные уравнения. Мн.: Наука и техника, 1983. 200 с.

16. Dymkou V. M., Dymkov M. An application of the Fourier transform to optimization of continuous 2 − D systems // Appl. Math. and Comp. Sci. 2003. Vol. 13, N 1. P. 45–54.

17. Барбашин Е. А. Об условиях сохранения свойств устойчивости решений интегродифференциальных уравнений // Изв. высш. учебн. заведен. Математика. 1957. Т. 1. С. 25–34.

18. Смирнов А. Д. Сорбционная очистка воды. Л.: Химия, 1982.

19. Osiadacz A. Simulation and Analysis of Gas Network. London: Gulf Publishing Company, 1987.

20. Porter D., Stirling S. T. Integral equations: a practical treatment: from spectral theory to applications. Cambridge: Cambridge University Press, 1990.

21. Agarwal R. P., O’Regan D., Sahu D. R. Fixed Point Theory for Lipschitzian-Type Mappings with Applications: Topological Fixed Point Theory and its Applications. NY: Springer, 2009.

22. Rudin W. Functional analysis. New York: McGraw-Hill Book Company, 1973.

23. Bondarenko L. N. Mathematical model of cascade of sorption apparatus // Mathematical modelling. 1997. Vol. 9, N 11. P. 23–32.

24. Dymkou V., Rabenstein R., Stefen P. Discrete simulation of a class of distributed systems using functional analytic methods // Multidimensional Systems and Signal Processsing. 2006. Vol. 17. P. 177–209.

25. Dymkou V. Application of Operator Theory for the Representation of Continuous and Discrete Distributed Parameter Systems, PhD Thesis. Germany: Erlangen-Nurenberg University, 2006.

26. Dymkou V., Pothe´rat A. Spectral methods for wall bounded MHD // Journal of Theoretical and Computational Fluid Dynamics. 2009. Vol. 23, N 6. P. 535–555.

27. Pothe´rat A., Dymkou V. Direct numerical simulations of low-Rm MHD turbulence based on the least dissipative modes // J. Fluid Mechanics. 2010. Vol. 655. P. 174–197.

28. Dymkou S., Dymkou V., Dymkov M. Multifunctional transformation method in flow modeling // Proceedings of 19th IFAC World Congress. 2014. Cape Town, South Africa, Publisher: International Federation of Automatic Control, 2014. Vol. 19, Part 1. P. 7013–7018.

29. Dymkov M. Linear-quadratic optimization problems for generalized 2D continuous control systems // Journal of Mathematical Sciences. 2024. Springer Nature Switzerland AG. Vol. 286, N 4. P. 508–525.