mathnasТруды Института математики НАН БеларусиProceedings of the Institute of Mathematics of the NAS of Belarus1812-5093Институт математики НАН Беларуси10.67268/1812-5093-2026-34-1-125-130YLIFFXmathnas-145Research ArticleТОПОЛОГИЯ И ГЕОМЕТРИЯTOPOLOGY AND GEOMETRYО совпадении некоторых инфимальных топологий экспоненты метризуемого пространстваOn the coincidence of some infimal hyperspace topologies of a metrizable spaceБедрицкийА. С.BedritskiyA. S.

Минск

Minsk

timvlaleo@gmail.comТимоховичВ. Л.TimokhovichV. L.

Минск

Minsk

bedrickiAS@bsu.byБелорусский государственный университетBelarusian State University202630062026341125130Copyright © Бедрицкий А.С., Тимохович В.Л., 20262026Бедрицкий А.С., Тимохович В.Л.Bedritskiy A.S., Timokhovich V.L.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://mathnas.ejournal.by/jour/article/view/145

Рассматриваются метризуемое топологическое пространство $X$ и множество $\Omega_X$ всех метрик, порождающих топологию этого пространства. Как известно, эквививалентным метрикам $\rho$ и $\sigma$ из $\Omega_X$ на экспоненте $\exp X$ могут соответствовать различные топологии $\tau_{\widehat{\rho}}$ и $\tau_{\widehat{\sigma}}$, порожденные метриками Хаусдорфа $\widehat{\rho}$ и $\widehat{\sigma}$, различные проксимальные топологии $\tau_{\delta (\rho)}$ и $\tau_{\delta (\sigma)}$ и различные топологии Вайсмана $\tau_{W(\rho)}$ и $\tau_{W(\sigma)}$. Таким образом, на $\exp X$ возникают семейства топологий  $\mathcal{T}_H = \{\tau_{\widehat{\rho}}\: | \: \rho\in\Omega_X\}$, $\mathcal{T}_{\delta} = \{\tau_{\delta (\rho)}\: | \: \rho\in\Omega_X\}$ и $\mathcal{T}_W = \{\tau_{W({\rho})}\: | \: \rho\in\Omega_X\}$. В предлагаемой статье описаны случаи совпадения инфимумов указанных семейств, т.~е. топологий $\tau_{H(\inf)} = \inf\mathcal{T}_H$, $\tau_{\delta (\inf)} = \inf\mathcal{T}_{\delta}$ и $\tau_{W(\inf)} = \inf\mathcal{T}_W$: $\tau_{H(\inf)} =\tau_{\delta (\inf)}$ тогда и только тогда, когда пространство $X$ обладает счетной базой, равенства $\tau_{H(\inf)} =\tau_{W(\inf)}$ и $\tau_{\delta (\inf)} = \tau_{W(\inf)}$ имеют место тогда и только тогда, когда пространство $X$ компактно. Помимо этого установлено, что топологии $\tau_{\delta (\inf)}$ и $\tau_{W(\inf)}$ секвенциальны тогда и только тогда, когда исходное пространство $X$ обладает счетной базой.

A metrizable topologycal space $X$ and the set $\Omega_X$ of all metrics generating the topology of $X$ are considered. It is well known that, in general, equivalent metrics $\rho$ and $\sigma$ from $\Omega_X$ can determine different Hausdorff metric topologies $\tau_{\widehat{\rho}}$ and $\tau_{\widehat{\sigma}}$, different proximal topologies $\tau_{\delta (\rho)}$ and $\tau_{\delta (\sigma)}$ and different Wijsman topologies $\tau_{W(\rho)}$ and $\tau_{W(\sigma)}$ on $\exp X$. Thus the families of topologies $\mathcal{T}_H = \{\tau_{\widehat{\rho}}\: | \: \rho\in\Omega_X\}$, $\mathcal{T}_{\delta} = \{\tau_{\delta (\rho)}\: | \: \rho\in\Omega_X\}$ and $\mathcal{T}_W = \{\tau_{W({\rho})}\: | \: \rho\in\Omega_X\}$ appear on the $\exp X$. We've described the cases when the infimums of this families, i.e. the topologies $\tau_{H(\inf)} = \inf\mathcal{T}_H$, $\tau_{\delta (\inf)} = \inf\mathcal{T}_{\delta}$ and $\tau_{W(\inf)} = \inf\mathcal{T}_W$ coincide: $\tau_{H(\inf)} =\tau_{\delta (\inf)}$ if and only if the space $X$ is second countable, $\tau_{H(\inf)} =\tau_{W(\inf)}$ and $\tau_{\delta (\inf)} = \tau_{W(\inf)}$ if and only if the space $X$ is compact. Besides it is found that the topologies $\tau_{\delta (\inf)}$ and $\tau_{W(\inf)}$ are sequential if and only if the space $X$ is second countable.

гиперпространствометрика Хаусдорфа$\rho$-проксимальная топологиятопология Вайсманаинфимальная топологияhyperspaceHausdorff metric$\rho$-proximal topologyWijsman topologyinfimum topology.ReferencesBeer G., Lechicki A., Levi S., Naimpally S. Distance functionals and suprema of hyperspace topologies // Annali di Matematica pura ed applicata. 1992. Vol. 162, N 4. P. 367–381.Beer G., Lechicki A., Levi S., Naimpally S. Distance functionals and suprema of hyperspace topologies. Annali di Matematica pura ed applicata, 1992, vol. 162, no. 4, pp. 367–381.Beer G. Topologies on closed and closed convex sets. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1993. 340 p.Beer G. Topologies on closed and closed convex sets. Dordrecht, Kluwer Academic Publishers, 1993. 340 p.Beer G., Himmelberg C., Prikry K., van Vleck F. The locally finite topology on 2X // Proceedings of the American Mathematical Society. 1987. Vol. 101, N 1. P. 168–172.Beer G., Himmelberg C., Prikry K., van Vleck F. The locally finite topology on 2X . Proceedings of the American Mathematical Society, 1987, vol. 101, pp. 168–172.Бедрицкий А. С., Тимохович В. Л. О топологиях экспоненты метризуемого топологического пространства // Труды Института математики. 2023. Т. 31, № 2. С. 15–27.Bedritskiy A. S., Timokhovich V. L. On the topologies of a hyperspace of a metrizable topological space. Proceedings of the Institute of Mathematics, 2023, vol. 31, no. 2, pp. 15–27 (in Russian).Costantini C., Vitolo P. On the infimum of the Hausdorff metric topologies // Proceedings of the London Mathematical Society. 1995. Vol. 70. P. 441–480.Costantini C., Vitolo P. On the infimum of the Hausdorff metric topologies. Proceedings of the London Mathematical Society, 1995, vol. 70, pp. 441–480.Costantini C., Levi S., Zieminska J. Metrics that generate the same hyperspace convergence // Set-Valued Analysis. 1993. Vol. 1. P. 141–157.Costantini C., Levi S., Zieminska J. Metrics that generate the same hyperspace convergence. Set-Valued Analysis, 1993, vol. 1, pp. 141–157.Энгелькинг Р. Общая топология. М.: Мир, 1986. 744 с.Engelking R. General Topology. Moscow, Mir, 1986. 744 p. (in Russian).

The authors declare that there are no conflicts of interest present.