Фундаментальная область в специальной линейной группе $SL_2(\mathbb{F}_p[x])$ и схема разделения секрета на ее основе

Решается задача по разработке математических основ модулярного разделения секрета в специальной линейной группе над кольцом многочленов от одной переменной над конечным полем Галуа из $p$ элементов. К схемам разделения секрета предъявляется большое число требований: совершенность и идеальность схемы, возможность проведения верификации, изменение порога без участия дилера, реализация непороговой структуры доступа и некоторые другие. Каждая разработанная к настоящему времени схема разделения секрета не в полной мере удовлетворяет всем этим требованиям. Разработка схемы на новой математической основе призвана расширить список этих конфигураций, что создает для пользователя больше возможностей в выборе оптимального варианта. В специальной линейной группе размерности 2 над кольцом многочленов строится фундаментальная область относительно действия главной конгруэнц-подгруппы правыми сдвигами. На этой основе предложены способы модулярного порогового разделения секрета и его восстановления.

1. Cramer R., Damgard I., Nielsen J. Multiparty computation from threshold homomorphic encryption // LNCS. 2001. Vol. 2045. P. 280–300. https://doi.org/10.1007/3-540-44987-6_18

2. Bethencourt J., Sahai A., Waters B. Ciphertext-policy attribute-based encryption // 2007 IEEE Symposium on Security and Privacy (SP’07), IEEE, 2007. P. 321–334. https://doi.org/10.1109/SP.2007.11

3. Benaloh J. Secret sharing homomorphisms: keeping shares of a secret sharing // LNCS. 1987. Vol. 263. P. 251–260. https://doi.org/10.1007/3-540-47721-7_19

4. Shamir A. How to share a secret // Communications of the ACM. 1979. Vol. 22. P. 612–613. https://doi.org/10.1145/359168.359176

5. Asmuth C., Bloom J. A modular approach to key safeguarding // IEEE Transactions on Information Theory. 1983. Vol. 29. P. 156–169. https://doi.org/10.1109/TIT.1983.1056651

6. Mignotte M. How to share a secret // LNCS. 1983. Vol. 149. P. 371–375. https://doi.org/10.1007/3- 540-39466-4_27

7. Galibus T., Matveev G., Shenets N. Some structural and security properties of the modular secret sharing // Proceedings of SYNASC’08, IEEE, Los Alamitos, 2009. P. 197–200. https://doi.org/10.1109/SYNASC.2008.14

8. Galibus T., Matveev G. Generalized Mignotte’s sequences over polynomial rings // Electronic Notes in Theoretical Computer Science. 2007. Vol. 186. P. 43–48. https://doi.org/10.1016/j.entcs.2006.12.044

9. Galibus T., Matveev G. Finite fields, Gröbner bases and modular secret sharing // Journal of Discrete Mathematical Sciences and Cryptography. 2012. Vol. 15. P. 339–348. https://doi.org/10.1080/09720529.2012.10698386

10. Васьковский М. М., Матвеев Г. В. Верификация модулярного разделения секрета // Журн. Белорус. гос. ун-та. Математика. Информатика. 2017. № 2. С. 17–22.

11. Матвеев Г. В., Матулис В. В. Совершенная верификация модулярной схемы // Журн. Белорус. гос. ун-та. Математика. Информатика. 2018. № 2. С. 4–9.

12. Янчевский В. И., Говорушко И. О., Матвеев Г. В. Разделение секрета в специальной линейной группе // Информатика. 2024. Т. 21, № 3. С. 39–47. https://doi.org/10.37661/1816-0301-2024-21-3-39-47

13. Rosen M. Number theory in function fields. New York: Springer-Verlag, 2002. 358 p.

14. Taylor D. E. The geometry of the classical groups. Berlin: Herdelmann Verlag, 1992. 229 р.

15. Nagao H. On GL(2; K[X ]) // Journal of the Institute of Polytechnics, Osaka City University. Series A: Mathematics. 1959. Vol. 10. P. 117–121.

16. Платонов В. П., Рапинчук А. С. Алгебраические группы и теория чисел. M.: Наука, 1991. 656 с.