mathnasТруды Института математики НАН БеларусиProceedings of the Institute of Mathematics of the NAS of Belarus1812-5093Институт математики НАН Беларусиmathnas-39Research ArticleАЛГЕБРА И ТЕОРИЯ ЧИСЕЛALGEBRA AND NUMBER THEORYФундаментальная область в специальной линейной группе $SL_2(\mathbb{F}_p[x])$ и схема разделения секрета на ее основеA fundamental domain in the special linear group $SL_2(\mathbb{F}_p[x])$ and secret sharing on its basisМатвеевГ. B.MatveevG. V.

Минск

Minsk

matveev47@bsu.byОсиновскаяА. А.OsinovskayaA. A.

Минск

Minsk

anna@im.bas-net.byЯнчевскийВ. И.YanchevskiiV. I.

Минск

Minsk

yanch@im.bas-net.byБелорусский государственный университетBelarusian State UniversityИнститут математики НАН БеларусиInstitute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Belarus202403032025322716Copyright © Матвеев Г.B., Осиновская А.А., Янчевский В.И., 20252025Матвеев Г.B., Осиновская А.А., Янчевский В.И.Matveev G.V., Osinovskaya A.A., Yanchevskii V.I.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://mathnas.ejournal.by/jour/article/view/39

Решается задача по разработке математических основ модулярного разделения секрета в специальной линейной группе над кольцом многочленов от одной переменной над конечным полем Галуа из $p$ элементов. К схемам разделения секрета предъявляется большое число требований: совершенность и идеальность схемы, возможность проведения верификации, изменение порога без участия дилера, реализация непороговой структуры доступа и некоторые другие. Каждая разработанная к настоящему времени схема разделения секрета не в полной мере удовлетворяет всем этим требованиям. Разработка схемы на новой математической основе призвана расширить список этих конфигураций, что создает для пользователя больше возможностей в выборе оптимального варианта. В специальной линейной группе размерности 2 над кольцом многочленов строится фундаментальная область относительно действия главной конгруэнц-подгруппы правыми сдвигами. На этой основе предложены способы модулярного порогового разделения секрета и его восстановления.

The problem of developing the mathematical foundations of modular secret sharing in the special linear group over the ring of polynomials in one variable over the finite Galois field with $p$ elements is being solved. Secret sharing schemes should meet a large number of requirements: perfectness and ideality of a scheme, possibility of verification, changing a threshold without participation of a dealer, implementation of a non-threshold access structure and some others. Every secret sharing scheme developed to date does not fully satisfy all these requirements. The development of a scheme on a new mathematical basis is intended to expand the list of these configurations, thereby creating more possibilities for a user to choose the optimal option. A fundamental domain with respect to the action of the main congruence subgroup by right shifts in the special linear group of dimension 2 over the ring of polynomials is constructed. On this basis, methods for modular threshold secret sharing and its reconstruction are proposed.

 

специальная линейная группаконгруэнц-подгруппафундаментальная областьмодулярное разделение секретапороговая структура доступаa special linear groupa congruence subgroupa fundamental domainmodular secret sharinga threshold access structureРабота выполнена при поддержке Государственной программы научных исследований «Конвергенция-2025», задание 1.1.01.ReferencesCramer R., Damgard I., Nielsen J. Multiparty computation from threshold homomorphic encryption // LNCS. 2001. Vol. 2045. P. 280–300. https://doi.org/10.1007/3-540-44987-6_18Cramer R., Damgard I., Nielsen J. Multiparty computation from threshold homomorphic encryption. LNCS, 2001, vol. 2045, pp. 280–300. https://doi.org/10.1007/3-540-44987-6_18Bethencourt J., Sahai A., Waters B. Ciphertext-policy attribute-based encryption // 2007 IEEE Symposium on Security and Privacy (SP’07), IEEE, 2007. P. 321–334. https://doi.org/10.1109/SP.2007.11Bethencourt J., Sahai A., Waters B. Ciphertext-policy attribute-based encryption. 2007 IEEE Symposium on Security and Privacy (SP’07), IEEE, 2007, pp. 321–334. https://doi.org/10.1109/SP.2007.11Benaloh J. Secret sharing homomorphisms: keeping shares of a secret sharing // LNCS. 1987. Vol. 263. P. 251–260. https://doi.org/10.1007/3-540-47721-7_19Benaloh J. Secret sharing homomorphisms: keeping shares of a secret sharing. LNCS, 1987, vol. 263, pp. 251–260. https://doi.org/10.1007/3-540-47721-7_19Shamir A. How to share a secret // Communications of the ACM. 1979. Vol. 22. P. 612–613. https://doi.org/10.1145/359168.359176Shamir A. How to share a secret. Communications of the ACM, 1979, vol. 22, pp. 612–613. https://doi.org/10.1145/359168.359176Asmuth C., Bloom J. A modular approach to key safeguarding // IEEE Transactions on Information Theory. 1983. Vol. 29. P. 156–169. https://doi.org/10.1109/TIT.1983.1056651Asmuth C., Bloom J. A modular approach to key safeguarding. IEEE Transactions on Information Theory, 1983, vol. 29, pp. 156–169. https://doi.org/10.1109/TIT.1983.1056651Mignotte M. How to share a secret // LNCS. 1983. Vol. 149. P. 371–375. https://doi.org/10.1007/3- 540-39466-4_27Mignotte M. How to share a secret. LNCS, 1983, vol. 149, pp. 371–375. https://doi.org/10.1007/3- 540-39466-4_27Galibus T., Matveev G., Shenets N. Some structural and security properties of the modular secret sharing // Proceedings of SYNASC’08, IEEE, Los Alamitos, 2009. P. 197–200. https://doi.org/10.1109/SYNASC.2008.14Galibus T., Matveev G., Shenets N. Some structural and security properties of the modular secret sharing. Proceedings of SYNASC’08, IEEE, Los Alamitos, 2009, pp. 197–200. https://doi.org/10.1109/SYNASC.2008.14Galibus T., Matveev G. Generalized Mignotte’s sequences over polynomial rings // Electronic Notes in Theoretical Computer Science. 2007. Vol. 186. P. 43–48. https://doi.org/10.1016/j.entcs.2006.12.044Galibus T., Matveev G. Generalized Mignotte’s sequences over polynomial rings. Electronic Notes in Theoretical Computer Science, 2007, vol. 186, pp. 43–48. https://doi.org/10.1016/j.entcs.2006.12.044Galibus T., Matveev G. Finite fields, Gröbner bases and modular secret sharing // Journal of Discrete Mathematical Sciences and Cryptography. 2012. Vol. 15. P. 339–348. https://doi.org/10.1080/09720529.2012.10698386Galibus T., Matveev G. Finite fields, Gröbner bases and modular secret sharing. Journal of Discrete Mathematical Sciences and Cryptography, 2012, vol. 15, pp. 339–348. https://doi.org/10.1080/09720529.2012.10698386Васьковский М. М., Матвеев Г. В. Верификация модулярного разделения секрета // Журн. Белорус. гос. ун-та. Математика. Информатика. 2017. № 2. С. 17–22.Vaskouski M. M., Matveev G. V. Verification of modular secret sharing. Journal of the Belarusian State University. Mathematics and Informatics, 2017, no. 2, pp. 17–22 (in Russian).Матвеев Г. В., Матулис В. В. Совершенная верификация модулярной схемы // Журн. Белорус. гос. ун-та. Математика. Информатика. 2018. № 2. С. 4–9.Matveev G. V., Matulis V. V. Perfect verification of modular scheme. Journal of the Belarusian State University. Mathematics and Informatics, 2018, no. 2, pp. 4–9 (in Russian).Янчевский В. И., Говорушко И. О., Матвеев Г. В. Разделение секрета в специальной линейной группе // Информатика. 2024. Т. 21, № 3. С. 39–47. https://doi.org/10.37661/1816-0301-2024-21-3-39-47Yanchevski˘i V. I., Havarushka I. A., Matveev G. V. Secret sharing in a special linear group. Informatics, 2024, vol. 21, no. 3, pp. 23–31 (in Russian). https://doi.org/10.37661/1816-0301-2024-21-3-23-31Rosen M. Number theory in function fields. New York: Springer-Verlag, 2002. 358 p.Rosen M. Number theory in function fields. New York, Springer-Verlag, 2002, 358 p.Taylor D. E. The geometry of the classical groups. Berlin: Herdelmann Verlag, 1992. 229 р.Taylor D. E. The geometry of the classical groups. Berlin, Herdelmann Verlag, 1992, 229 р.Nagao H. On GL(2; K[X ]) // Journal of the Institute of Polytechnics, Osaka City University. Series A: Mathematics. 1959. Vol. 10. P. 117–121.Nagao H. On GL(2; K[X ]). Journal of the Institute of Polytechnics, Osaka City University. Series A: Mathematics, 1959, vol. 10, pp. 117–121.Платонов В. П., Рапинчук А. С. Алгебраические группы и теория чисел. M.: Наука, 1991. 656 с.Platonov V. P., Rapinchuk A. S. Algebraic groups and number theory. Moscow, Nauka, 1991, 656 p. (in Russian).

The authors declare that there are no conflicts of interest present.