On critical σ-local formations of finite groups
Abstract
In this article we study minimal $\sigma$-local non-$\mathfrak H$-formations of finite groups (or, in other words, $\mathfrak H_\sigma$-critical formations), i. e. such $\sigma$-local formations not included in the class of groups $\mathfrak H$, all of whose proper $\sigma$-local subformations are contained in $\mathfrak H$. A description of minimal $\sigma$-local non$\mathfrak H$-formations for an arbitrary $\sigma$-local formation $\mathfrak H$ of classical type is obtained (а $\sigma$-local formation is called a $\sigma$-local formation of classical type if it has a $\sigma$-local definition such that all its non-Abelian values are $\sigma$-local). The main result of the work in the class of $\sigma$-local formations solves the problem of L. A. Shemetkov (1980) on the description of critical formations for given classes of finite groups. As corollaries, descriptions of $\mathfrak H_\sigma$-critical formations are given for a number of specific classes of finite groups, such as the classes of all $\sigma$-nilpotent, meta-$\sigma$-nilpotent groups, as well as the class all groups with $\sigma$-nilpotent commutator subgroup.
References
1. Шеметков Л. А. Экраны ступенчатых формаций // Тр. VI Всесоюзн. симпозиума по теории групп. Киев: Наукова думка, 1980. С. 37–50.
2. Скиба А. Н. О критических формациях // Изв. АН БССР. Сер. физ.-мат. наук. 1980. № 4. С. 27–33.
3. Скиба А. Н. О критических формациях // Бесконечные группы и примыкающие алгебраические структуры. Киев: Ин-т математики АН Украины, 1993. С. 258–268.
4. Шеметков Л. А., Скиба А. Н. Формации алгебраических систем. М.: Наука, 1989.
5. Скиба А. Н. Алгебра формаций. Минск: Беларуская навука, 1997.
6. Сафонов В. Г. О минимальных кратно локальных не H-формациях конечных групп // Вопросы алгебры. 1995. Вып. 8. С. 109–138.
7. Сафонов В. Г. О критических кратно локальных формациях конечных групп // Вес. Акад. навук Беларусi. Сер. фiз.-мат. навук. 1997. № 3. С. 57–61.
8. Джарадин Д. Минимальные p-насыщенные ненильпотентные формации // Вопросы алгебры. 1995. Вып. 8. С. 59–64.
9. Сафонова И. Н. О минимальных ω-локальных несверхразрешимых формациях // Вопросы алгебры. 1998. № 12. С. 123–130.
10. Сафонова И. Н. О минимальных ω-локальных не H-формациях // Вес. Нац. акад. навук Беларусi. Сер. фiз.-мат. навук. 1999. № 2. С. 23–27.
11. Сафонова И. Н. К теории Hl ω-критических формаций конечных групп // Изв. Гомельского гос. ун-та. 2001. № 3(6). Вопросы алгебры. С. 124–133.
12. Селькин В. М. Минимальные наследственные ω-локальные не H-формации // Украинский математический журнал. 2002. Т. 54, № 3. С. 373–380.
13. Сафонова И. Н. О критических частично насыщенных формациях конечных групп // Вес. Нац. акад. навук Беларусi. Сер. фiз.-мат. навук. 2006. № 2. С. 51–55.
14. Селькин В. М. О минимальных τ-замкнутых ω-локальных не H-формациях // Тр. Ин-та математики. 2008. Т. 16, № 1. C. 81–85.
15. Рябченко А. И. К теории частично насыщенных формаций // Изв. Гомельского гос. ун-та. 2008. № 6(51), Ч. 2. С. 153–160.
16. Сафонов В. Г., Сафонова И. Н. О минимальных тотальноω-насыщенных ненильпотентных формациях конечных групп // Вестн. Витебского гос. ун-та. 2014. № 6(84). С. 9–15.
17. Ведерников В. А., Сорокина М. М. Композиционные наследственные критические формации // Вопросы алгебры. 1997. Вып. 11. С. 59–64.
18. Сорокина М. М. О композиционных нормально наследственных критических формациях // Вопросы алгебры. 1998. Вып. 12. С. 23–36.
19. Близнец И. В., Скиба А. Н. О HΘL-критических формациях // Изв. Гомельского гос. ун-та. 1999. № 1. С. 140–144.
20. Близнец И. В. Критические ω-композиционные формации // Вес. Нац. акад. навук Беларусi. Сер. фiз.-мат. навук. 2002. № 4. С. 115–117.
21. Задорожнюк М. В. О минимальных τ-замкнутых ω-композиционных ненильпотентных формациях // Вес. Нац. акад. навук Беларусi. Сер. фiз.-мат. навук. 2006. № 3. С. 21–24.
22. Белоус Л. И., Селькин В. М., Скиба А. Н. Об одном классе критических ω-композиционных формаций // Докл. Нац. акад. наук Беларуси. 2006. Т. 50, № 6. С. 36–40.
23. Belous L. I., Sel’kin V. M. On minimal ω-composition non-H-formations // Algebra and discrete mathematics. 2006. N 4. P. 1–11.
24. Жизневский П. А., Сафонов В. Г. О критических частично композиционных формациях // Вес. Нац. акад. наук Беларуси. Сер. фiз.-мат. навук. 2010. № 3. С. 44–49.
25. Жизневский П. А. О существовании критических формаций // Докл. Нац. акад. наук Беларуси. 2011. Т. 55, № 1. С. 27–30.
26. Сафонов В. Г. H τ ∞-критические формации // Изв. Гомельского гос. ун-та. 2008. № 2(47). С. 169–176.
27. Сафонов В. Г. О существовании минимальных τ-замкнутых тотально насыщенных не H-формаций // Тр. Ин-та математики. 2008. Т. 16, № 1. С. 67–72.
28. Ведерников В. А., Коптюх Д. Г. Наследственные критические Ω-композиционные формации // Укр. мат. журн. 2001. Т. 53, № 5. С. 579–588.
29. Сорокина М. М., Силенок Н. В. Критические Ω-расслоенные формации конечных групп // Математические заметки. 2002. Т. 72, Вып. 2. С. 269–282.
30. Корпачева М. А., Сорокина М. М. О критических ω-веерных формациях конечных групп // Математические заметки. 2006. Т. 79, Вып. 1. С. 87–94.
31. Сафонов В. Г., Сафонова И. Н. Приводимые ω-насыщенные формации с разрешимым дефектом ⩽ 2 // Изв. Гомельского гос. ун-та. 2005. № 5(32). С. 162–165.
32. Сафонов В. Г., Сафонова И. Н. О коммутативных полугруппах разрешимых тотально ω-насыщенных формаций // Проблемы физики, математики и техники. 2015. № 4(25). С. 80–86.
33. Сафонова И. Н. О минимальных σ-локальных не H-формациях конечных групп // Проблемы физики, математики и техники. 2020. № 4(45). С. 105–112.
34. Skiba A. N. On σ-subnormal and σ-permutable subgroups of finite groups // J. Algebra. 2015. Vol. 436. P. 1–16.
35. Skiba A. N. On one generalization of the local formations // Probl. Phys. Math. Tech. 2018. N 1(34). P. 79–82.
36. Chi Z., Safonov V. G., Skiba A. N. On one application of the theory of n-multiply σ-local formations of finite groups // Probl. Phys. Math. Tech. 2018. N 2(35). P. 85–88.
37. Chi Z., Safonov V. G., Skiba A. N. On n-multiply σ-local formations of finite groups // Comm. Algebra. 2019. Vol. 47, N 3. P. 957–968.
38. Tsarev A. Laws of the lattices of σ-local formations of finite groups // Mediterranean Journal of Mathematics. 2020. Vol. 17, N 3. P. 75.
39. Safonova I. N., Safonov V. G. On some properties of the lattice of totally σ-local formations of finite groups // Journal of the Belarusian State University. Mathematics and Informatics. 2020. N 3. P. 6–16.
40. Воробьев Н. Н., Стаселько И. И., Ходжагулыев А. О. Отделимые решетки кратно σ-локальных формаций // Сиб. мат. журн. 2021. Т. 62, № 4. С. 721–735.
41. Safonova I. N. A criterion for σ-locality of a non-empty formation // Comm. Algebra. 2022. Vol. 50, N 6. P. 2366–2376.
42. Safonova I. N. On properties of the lattice of all τ-closed n-multiply σ-local formations // Comm. Algebra. 2023. Vol. 51, N 10. P. 4454–4461.
43. Safonova I. N. On σ-inductive lattices of n-multiply σ-local formations of finite groups // J. Algebra and its Applications. https://doi.org/10.1142/S0219498824500178.
Review
For citations:
Safonova I.N. On critical σ-local formations of finite groups. Trudy Instituta matematiki. 2023;31(2):63-80. (In Russ.)
Views: 83
Email this article 