В статье исследованы частотные свойства первых цифр в последовательности, образованной степенями целых чисел. Рассматривается ряд обобщений этой проблемы, а также обсуждается связь между распределением первых цифр и диофантовыми свойствами логарифмов. Предлагается ряд актуальных проблем в теории диофантовых приближений.

Установлена связь нормы Шаттена линейного отображения A :V → W
евклидовых пространств размерностей n и m соответственно со средними степенными,
порожденными длинами образов векторов ортонормированного базиса V.

Мы рассматриваем естественное действие групп Галуа неразветвленных расширений Галуа числовых полей на конечных устойчивых при действии группы  Галуа подгруппах $GL_n$.

Для конечной группы $G$ и ее максимальной подгруппы $M$ мы доказали, что обобщенная высота Фиттинга группы $G$ минус  обобщенная высота Фиттинга подгруппы $M$ не превосходит 2, а не-$p$-разрешимая длина группы $G$ минус не-$p$-разрешимая длина подгруппы $M$ не превосходит 1. Мы построили наследственную насыщенную формацию $\mathfrak{F}$ так, что $\{n_\sigma(G, \mathfrak{F})-n_\sigma(M, \mathfrak{F})\mid G$ конечна $\sigma$-разрешима и $M$ является максимальной подгруппой группы $G\}=\mathbb{N}\cup\{0\}$, где $n_\sigma(G, \mathfrak{F})$ обозначает $\sigma$-нильпотентную длину $\mathfrak{F}$-корадикала группы $G$. Эта конструкция показывает, что результаты об обобщенных длинах максимальных подгрупп, опубликованные в Math. Nachr. (1994) и Mathematics (2020), являются некорректными.

В работе доказана эквивалентность двух специальных матричных норм. Обе нормы возникают в моделях, формулируемых в терминах взаимодействия бинарных переменных. При этом одна норма связана со взаимодействием этих переменных внутри одной группы, а другая – со взаимодействием переменных из разных групп. Утверждение позволяет легко переносить содержательные результаты со второго (более простого) случая на первый.

Работа является пятой и заключительной из серии статей, где для множества $\pi$, состоящего из нечетных простых чисел, исследуются конечные $\pi$-разрешимые неприводимые комплексные линейные группы степени $2|H|+1$, у которых холловы $\pi$-подгруппы $H$ являются $TI$-подгруппами и не являются нормальными в группах. Цель серии – доказать разрешимость и определить условия факторизации таких групп.

Группа $L$ называется градуированной, если она представлена в виде объединения убывающей последовательности подгрупп $L_m$. Предложена общая схема введения так называемой sharp-метрики на таких группах, относительно которой алгебраические операции непрерывны и которая является неархимедовой. Показано, что такая группа всюду плотно вкладывается в полную группу, элементами которой являются ряды специального вида из элементов $L$. Аналогичные конструкции рассмотрены для градуированных колец и градуированных векторных пространств. В качестве примеров показано, что в конкретных частных случаях применение описанной конструкции приводит к построению $p$-адических чисел и  к построению рядов Тейлора и Лорана.

В работе найдены достаточные условия существования тригонометрических аппроксимаций Эрмита–Якоби системы функций, являющихся суммами сходящихся рядов Фурье. Опираясь на эти результаты, установлены достаточные условия, при которых существуют нелинейные аппроксимации Эрмита–Чебышёва систем функций, представимых рядами Фурье по многочленам Чебышёва первого и второго рода. При выполнении найденных условий получены явные формулы для числителей и знаменателей тригонометрических аппроксимаций Эрмита–Якоби и нелинейных аппроксимаций Эрмита–Чебышёва первого и второго рода указанных систем функций.

В работе рассмотрен случай стохастического дифференциального уравнения в смысле Ито с дрейфом. Для рассматриваемого уравнения построена формула приближенного вычисления математических ожиданий от его решения. Для построенной формулы получена оценка погрешности. Проведен численный эксперимент.

В работе предложена стохастическая модель, описывающая динамику биаллельного полиморфизма в дойном стаде. Предложенная модель предполагает, что стадо формируется в условиях контролируемого спаривания. Система уравнений, описывающих модель основана на использовании случайных процессов, содержащих скачки. Построен дискретный аналог стохастической системы, для которого проведена Монте-Карло симуляция.

Анализируется многолинейная система обслуживания с повторными вызовами и неоднородными серверами. Длительности обслуживания имеют фазовое распределение с различными неприводимыми представлениями. Поступление запросов в систему определяется марковским процессом поступления. Когда все серверы заняты в момент поступления, запрос помещается в виртуальное место, называемое орбитой, чтобы повторить попытку достичь серверов через экспоненциально распределенные периоды времени. Общая скорость повторных вызовов с орбиты бесконечно увеличивается с ростом числа запросов, находящихся на орбите. При поступлении или повторных вызовах с орбиты запрос занимает сервер с минимальным номером среди всех свободных серверов, если таковые имеются. Динамика состояний системы описывается многомерной цепью Маркова, имеющей специальную блочную структуру инфинитезимального генератора. Представлено явное выражение для генератора. Выведено условие эргодичности. Приведены выражения для вычисления ключевых характеристик производительности системы. Представлены численные результаты, иллюстрирующие зависимости характеристик производительности системы от средней скорости поступления заявок для системы и ее частных случаев, когда поступления описываются стационарным пуассоновским процессом или (и) времена обслуживания подчиняются экспоненциальному распределению.