Топологические структуры на градуированных множествах

Группа $L$ называется градуированной, если она представлена в виде объединения убывающей последовательности подгрупп $L_m$. Предложена общая схема введения так называемой sharp-метрики на таких группах, относительно которой алгебраические операции непрерывны и которая является неархимедовой. Показано, что такая группа всюду плотно вкладывается в полную группу, элементами которой являются ряды специального вида из элементов $L$. Аналогичные конструкции рассмотрены для градуированных колец и градуированных векторных пространств. В качестве примеров показано, что в конкретных частных случаях применение описанной конструкции приводит к построению $p$-адических чисел и  к построению рядов Тейлора и Лорана.

1. Бурбаки Н. Топологические векторные пространства. М., 1959.

2. Олвер Ф. Введение в асимптотические методы и специальные функции. М.: Наука, 1978.

3. Васильева А. В., Бутузов В. Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений. М., 1973.

4. Colombeau J. F. New generalized functions and multiplication of distributions. Amsterdam: North-Holland, 1984. 374 p.

5. Delcroix A., Scarpalezos D. Sharp Topologies on (C, E, P)-Algebras // Nonlineal Theory of Generalized Function, Chaptman & Hall, Research Notes of Mathematics. 1999. Vol. 401. P. 165–174.

6. Хренников А. Ю. Неархимедов анализ и его приложения. М.: Физматлит, 2003. 216 с.

7. Радына А. Я., Радына Я. М., Радына Я. В. Пачаткi неархiмедавага аналiзу: дапам. для студентаў мех.-мат. фак. Мiнск: БДУ, 2010. 111 с.

8. Владимиров В. С., Волович И. В., Зеленов Е. И. P-адический анализ и математическая физика. М.: Наука, 1994. 352 с.

9. Каток С. В. P-адический анализ в сравнении с вещественным. М.: МЦНМО, 2004. 112 с.

10. Акушский И. Я., Юдицкий Д. И. Машинная арифметика в остаточных классах. М.: Советское радио, 1968. 439 с.

11. Кротов В. Г. Математический анализ: учеб. пособие. Минск: БГУ, 2017.

12. Нарасимхан Р. Анализ на действительных и комплексных многообразиях. М.: Мир, 1971. 232 с.