О n-кратной σ-локальности непустой τ-замкнутой формации конечных групп

Все рассматриваемые группы конечны. Пусть $\sigma =\{\sigma_{i} \mid i\in I \}$ – некоторое разбиение множества всех простых чисел, $G$ – группа, $\sigma (G)=\{\sigma_i\mid \sigma_i\bigcap \pi (G)\ne \varnothing\} $, $\mathfrak F$ – класс групп и $\sigma (\mathfrak{F})=\bigcup_{G\in \mathfrak{F}}\sigma (G).$ Функцию $f$ вида $f:\sigma \to\{\text{формации групп}\}$ называют формационной σ‑функцией. Для любой формационной σ‑функции $f$ класс $LF_{\sigma}(f)$ определяют следующим образом: $LF_{\sigma}(f)=(G \mid G=1 \ \text{или }\ G\ne 1\ \text{и }\ G/O_{\sigma_i', \sigma_i}(G) \in f(\sigma_{i}) \ \text{ для всех } \sigma_i \in \sigma(G)).$ Если для некоторой формационной σ‑функции $f$ имеем $\mathfrak{F}=LF_{\sigma}(f),$ то класс $\mathfrak{F}$ называют $\sigma $-локальным, а σ‑функцию $f$ называют σ‑локальным определением $ \mathfrak{F}.$ Каждую формацию считают 0‑кратно σ‑локальной. Для $n \geqslant 1,$ формацию $\mathfrak{F}$ называют $n$-кратно $\sigma $-локальной, если либо $\mathfrak{F}=(1)$ – классом всех единичных групп, либо $\mathfrak{F}=LF_{\sigma}(f),$ где $f(\sigma_i)$ является $(n-1)$-кратно σ‑локальной для всех $\sigma_i\in \sigma (\mathfrak{F}).$ Пусть $\tau(G)$ – такое множество подгрупп $G$, что $G\in \tau(G).$ Тогда $\tau$ называют подгрупповым функтором, если для любого эпиморфизма $\varphi$ : $A \to~B$ и любых групп $H \in \tau(A)$ и $T\in \tau(B)$ имеем $H^{\varphi}\in\tau(B)$ и $T^{{\varphi}^{-1}}\in\tau(A).$ Формацию $\mathfrak{F}$ называют $\tau$-замкнутой, если $\tau(G)\subseteq\mathfrak{F}$ для всех $G\in\mathfrak F.$ В работе получены необходимые и достаточные условия $n$-кратной σ‑локальности $(n\geqslant 1)$ непустой $\tau$-замкнутой формации.

1. Skiba A. N. On σ-subnormal and σ-permutable subgroups of finite groups // J. Algebra. 2015. Vol. 436. P. 1–16.

2. Skiba A. N. On one generalization of the local formations // Проблемы физики, математики и техники. 2018. № 1(34). С. 79–82.

3. Чи Ч., Скиба А. Н. О Σ^σ_t-замкнутых классах конечных групп // Украинский матем. журн. 2018. T. 70, № 12. C. 1707–1716.

4. Chi Z., Skiba A. N. A generalization of Kramer’s theory // Acta Math. Hungar. 2019. Vol. 158, N 1. P. 87–99.

5. Chi Z., Safonov V. G., Skiba A. N. On one application of the theory of n-multiply σ-local formations of finite groups // Проблемы физики, математики и техники. 2018. № 2(35). C. 85–88.

6. Chi Z., Safonov V. G., Skiba A. N. On n-multiply σ-local formations of finite groups // Comm. Algebra. 2019. Vol. 47, N 3. P. 957–968.

7. Скиба А. Н. Алгебра формаций. Минск: Беларуская навука, 1997.

8. Safonova I. N. On τ-closed n-multiply σ-local formations of finite groups // Cornell University Library, arXiv: 2105.00430 [math.GR] 2 May 2021. 29 p.

9. Safonova I. N. Some properties of n-multiply σ-local formations of finite groups // Asian-European Journal of Mathematics. 2022. Vol. 15, N 7. Art. 2250138.

10. Safonova I. N. On properties of the lattice of all τ-closed n-multiply σ-local formations // Comm. Algebra. 2023. Vol. 51, N 10. P. 4454–4461.

11. Safonova I. N. On σ-inductive lattices of n-multiply σ-local formations of finite groups // J. Algebra and Its Applications. 2024. Vol. 23, N 1. Art. 2450017.

12. Safonova I. N. On the τ-closedness of n-multiply σ-local formation // Advances in Group Theory and Applications. 2024. Vol. 18. P. 123–136.

13. Safonova I. N. A criterion for σ-locality of a non-empty formation // Comm. Algebra. 2022. Vol. 50, N 6. P. 2366–2376.

14. Safonova I. N., Safonov V. G. On some properties of the lattice of totally σ-local formations of finite groups // Журн. Белорус. гос. ун-та. Математика. Информатика. 2020. № 3. C. 6–16.б

15. Сафонов В. Г. Характеризация разрешимых однопорожденных тотально насыщенных формаций конечных групп // Сибирский матем. журн. 2007. T. 48, № 1. C. 185–191.