Обобщение леммы Гельфонда о малых значениях целочисленных полиномов на многомерный случай
Аннотация
В работе установлена связь между значениями двух целочисленных полиномов без общих корней на непересекающихся интервалах фиксированной длины с основными характеристиками полиномов – степенью и высотой. Доказанную теорему можно рассматривать как двумерное обобщение леммы Гельфонда из теории трансцендентных чисел. Теорема может быть использована при оценке сверху размерности Хаусдорфа множества векторов, которые покоординатно, с заданным порядком, приближаются сопряженными алгебраическими числами.
Об авторах
Н. И. Калоша
Институт математики НАН Беларуси
Беларусь
Беларусь
Минск
Ж. И. Пантелеева
Институт математики НАН Беларуси
Беларусь
Беларусь
Минск
Список литературы
1. Dirichlet L. G. P. Verallgemeinerung eines Satzes aus der Lehre von den Kettenbr¨uchen nebst einigen Anwendungen auf die Theorie der Zahlen // Werke I. 1842. P. 633–638.
2. Khintchine A. Einige S¨atze ¨uber Kettenbr¨uche, mit Anwendungen auf die Theorie der Diophantischen Approximationen // Mathematische Annalen. 1924. Vol. 92. P. 115–125.
3. Mahler K. ¨Uber das Maß der Menge aller S-Zahlen // Math. Ann. 1932. Vol. 106. P. 131–139.
4. Спринджук В. Г. О гипотезе Малера // ДАН СССР. 1964. Т. 154, № 4. С. 783–786.
5. Спринджук В. Г. Доказательство гипотезы Малера о мере множества S-чисел // Изв. АН СССР, сер. мат. 1965. Т. 29, № 2. С. 379–436.
6. Спринджук В. Г. Проблема Малера в метрической теории чисел. Минск: Наука и техника,
7. – 181 с.
8. Bernik V. I. The exact order of approximating zero by values of integral polynomials // Acta Arith. 1989. Vol. 53, N 1. P. 17–28.
9. Beresnevich V. V. On approximation of real numbers by real algebraic numbers // Acta Arith. 1999. Vol. 50, N 2. P. 97–112.
10. Пташник Б. И. Некорректные граничные задачи для дифференциальных уравнений с частными производными. Киев: Наукова думка, 1984. 264 c.
11. Арнольд В. И. Малые знаменатели и проблемы устойчивости движения в классической и небесной механике // Успехи математических наук. 1963. Т. 18, № 6(114). С. 91–192.
12. Beresnevich V., Velani S. Number theory meets wireless communications: an introduction for dummies like us // Beresnevich V., Burr A., Nazer B., Velani S. Number Theory Meets Wireless Communications. Springer, 2020. p. 1–67 doi: 10.1007/978-3-030-61303-7
13. Hausdorff F. Die M¨achtigkeit der Borelschen Mengen // Mathematische Annalen. 1916. Vol. 77, N 3. P. 430–437.
14. Baker A., Schmidt W. M. Diophantine approximation and Hausdorff dimension // Proceedings of the London Mathematical Society. 1970. N 21. P. 1–11.
15. Берник В. И. Применение размерности Хаусдорфа в теории диофантовых приближений // Acta Arith. 1983. Т. 42, № 3. С. 219–253.
16. Гельфонд А. О. Трансцендентные и алгебраические числа. М.: Гостехиздат, 1952. 224 c.
17. Берник В. И., Калоша Н. И. Приближение нуля значениями целочисленных полиномов в пространстве R×C×Qp // Вес. Нац. акад. навук Беларусi. Сер. фiз.-мат. навук. 2004. № 1. С. 121–123.
18. Берник В. И., Васильев Д. В., Калоша Н. И, Пантелеева Ж. И. Метрическая теория диофантовых приближений и асимптотические оценки для количества многочленов с заданными дискриминантами, делящимися на большую степень простого числа // Докл. Нац. акад. наук Беларуси. 2023. Т. 67, № 4. С. 271–278.
19. Берник В. И. Метрическая теорема о совместном приближении нуля значениями целочисленных многочленов // Изв. АН СССР, сер. физ.-мат. 1980. Т. 44, № 1. С. 24–45.
20. Budarina N., Bernik V. I., Dickinson D. A divergent Khintchine Theorem in the real, complex and p-adic fields // Lithuanian Mathematical Journal. 2008. Vol. 48, N 2. P. 1–16. doi: 10.1007/s10986-008-9005-9
21. Budarina N., Dickinson D. Diophantine approximation on non degenerate curves with non monotonic error function // Bulletin London Math. Soc. 2009. Vol. 41, N 1. P. 137–146. doi: 10.1112/blms/bdn116
22. Budarina N., Bernik V. I., Dickinson D. Simultaneous Diophantine approximation in the real, complex and p-adic fields // Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 2010. Vol. 149, N 2. P. 193–216. doi: 10.1017/S0305004110000162
23. Budarina N., Dickinson D. Simultaneous Diophantine Approximation in two metrics and the distance between conjugate algebraic numbers in C×Qp // Indagationes Mathematicae. 2012. Vol. 23. P. 32–41. doi: 10.1016/j.indag.2011.09.012
24. Beresnevich V., Bernik V., Budarina N. Systems of small linear forms and diophantine approximation on manifolds // arXiv preprint arXiv:1707. 00371. 2017. Available at: https://arxiv.org/abs/1707.00371
Рецензия
Для цитирования:
Калоша Н.И., Пантелеева Ж.И. Обобщение леммы Гельфонда о малых значениях целочисленных полиномов на многомерный случай. Труды Института математики НАН Беларуси. 2024;32(1):10-16.
For citation:
Kalosha N.I., Panteleeva Zh.I. Generalization of Gelfond’s lemma on small values of integer polynomials to the multidimensional case. Proceedings of the Institute of Mathematics of the NAS of Belarus. 2024;32(1):10-16. (In Russ.)
Просмотров: 44
Послать статью по эл. почте 