mathnasТруды Института математики НАН БеларусиProceedings of the Institute of Mathematics of the NAS of Belarus1812-5093Институт математики НАН БеларусиRBMQLBmathnas-99Research ArticleВЕЩЕСТВЕННЫЙ, КОМПЛЕКСНЫЙ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗREAL, COMPLEX AND FUNCTIONAL ANALYSISОб одном рациональном сингулярном интеграле Джексона и аппроксимациях функций МарковаOn a rational Jackson singular integral and approximations of Markov functionsПоцейкоП. Г.PatseikaP. G.

Гродно

Grodno

pahamatby@gmail.comРовбаЕ. А.RoubaYa. A.

Гродно

Grodno

rovba.ea@gmail.comГродненский государственный университет имени Янки КупалыYanka Kupala State University of Grodno2025050120263327389Copyright © Поцейко П.Г., Ровба Е.А., 20262026Поцейко П.Г., Ровба Е.А.Patseika P.G., Rouba Y.A.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://mathnas.ejournal.by/jour/article/view/99

Вводится рациональный сингулярный интеграл Джексона, представляющий собой линейную комбинацию рациональных интегральных операторов Фурье-Чебышёва с соответствующей треугольной матрицей коэффициентов и фиксированным количеством геометрически различных полюсов. Устанавливается его интегральное представление. Исследуются рациональные аппроксимации функций Маркова на отрезке $[-1,1]$ введенным методом. Устанавливается интегральное представление приближений и оценка сверху равномерных приближений. Изучаются аппроксимации функций Маркова с абсолютно непрерывной мерой, производная которой асимптотически равна некоторой степенной функции. В этом случае найдены оценки сверху поточечных и равномерных приближений и асимптотическое выражение мажоранты равномерных приближений. Устанавливаются оптимальные значения параметров, при которых обеспечиваются наилучшие равномерные приближения функций Маркова рациональными сингулярными интегралами Джексона. С этой целью решается соответствующая экстремальная задача. Показано, что при специальном выборе параметров равномерные рациональные приближения имеют более высокую скорость убывания в сравнении с соответствующими полиномиальными аналогами. В качестве следствия рассмотрены аппроксимации некоторых элементарных функций, представимых функциями Маркова на отрезке $[-1,1].$

The rational Jackson singular integral is introduced, which is a linear combination of Fourier-Chebyshev rational integral operators with a corresponding triangular matrix of coefficients and a fixed number of geometrically different poles. Its integral representation is established. Rational approximations of Markov functions on the segment $[-1,1]$ are investigated by the introduced method. An integral representation of approximations and an upper bound of uniform approximations are established. Approximations of Markov functions with an absolutely continuous measure whose derivative is asymptotically equal to a function with a power singularity are studied. In this case, top-down estimates of pointwise and uniform approximations and an asymptotic expression of the majorant of uniform approximations are found. Optimal values of the parameters of rational Jackson singular integrals are established, at which the best uniform approximations of Markov functions are provided by this method. For this purpose, the corresponding extreme problem is solved. It is shown that with a special choice of parameters, uniform rational approximations have a higher rate of decrease in comparison with the corresponding polynomial analogues. As a corollary, approximations of some elementary functions represented by Markov functions on the segment $[-1,1]$ are considered.

функции Марковарациональные интегральные операторы Фурье-Чебышёвасингулярный интеграл Джексонаасимптотические оценкиметод Лапласаточные константыMarkov functionsFourier-Chebyshev rational integral operatorsJackson singular integralasymptotic estimatesLaplace methodexact constantsРабота выполнена при финансовой поддержке государственной программы научных исследований «Конвергенция–2025» (№ ГР 20212046)ReferencesМарков А. А. Избранные труды по теории непрерывных дробей и теории функций, наименее уклоняющихся от нуля. М.: Гостехиздат, 1948. С. 106–119.Markov A. A. Selected Works on the Theory of Continued Fractions and the Theory of Functions Deviating Least from Zero. Moscow, Gostehizdat, 1948, pp. 106–119 (in Russian).Гончар А. А. О скорости рациональной аппроксимации некоторых аналитических функций // Матем. сб. 1978. Т. 105 (147), № 2. С. 147–163.Gonchar A. A. On the speed of rational approximation of some analytic functions Math. USSR-Sb., 1978. vol. 34, iss. 2, pp. 131–145 (in Russian).Ganelius Т. Ortogonal polynomials and rational approximation of holomorphic function // Studies in Pure Mathematics (To the Memory of Paul Turan) / ed. P. Erdos. Basel, Birkhauser Verlag, 1978. P. 237–243.Ganelius Т. Ortogonal polynomials and rational approximation of holomorphic function. Studies in Pure Mathematics (To the Memory of Paul Turan), ed. P. Erdos. Basel, Birkhauser Verlag, 1978, pp. 237–243.Andersson J.-E. Best Rational Approximation to Markov Functions // J. Approx. Theory. 1994. Vol. 76, N 1. P. 219–232.Andersson J.-E. Best Rational Approximation to Markov Functions. J. Approx. Theory, 1994, vol. 76, iss. 1, pp. 219–232.Пекарский А. А. Наилучшие равномерные рациональные приближения функций Маркова // Алгебра и анализ. 1995. Т. 7, № 2. С. 121–132.Pekarskii A. A. Best uniform rational approximations of Markov functions. St. Petersburg Math. J., 1996, vol. 7, iss. 2, pp. 277–285.Vyacheslavov N. S., Mochalina E. P. Rational approximations of functions of Markov–Stieltjes type in Hardy spaces // Mosc. Univ. Math. Bull. 2008. Vol. 63, N 4. P. 125–134.Vyacheslavov N. S., Mochalina E. P. Rational approximations of functions of Markov–Stieltjes type in Hardy spaces. Mosc. Univ. Math. Bull., 2008, vol. 63, iss. 4, pp. 125–134.Старовойтов А. П., Лабыч Ю. А. Рациональная аппроксимация функций Маркова, порожденных борелевскими мерами степенного типа // Проблемы физики, математики и техники. 2009. Т. 1, № 1. С. 69–73.Starovoitov A. P., Labych Yu. A. Rational approximation of Markov functions generated by Borel measures of power type. Problemy fiziki, matematiki i tekhniki, 2009, vol. 1, iss. 1, pp. 69–73 (in Russian).Мардвилко Т. С. Равномерная рациональная аппроксимация нечетного и четного преобразований Коши // Матем. сб. 2025. Т. 216, № 2. С. 110–127.Mardvilko T. S. Uniform rational approximation of the odd and even Cauchy transforms. Sbornik: Mathematics, 2025, vol. 216, iss. 2, pp. 239–256. https://doi.org/10.4213/sm10116eПекарский А. А., Ровба Е. А. Равномерные приближения функций Стилтьеса посредством ортопроекции на множество рациональных функций // Матем. зам. 1999. Т. 65, вып. 3. С. 362–368.Pekarskii A. A., Rovba E. A. Uniform approximations of Stieltjes functions by orthogonal projection on the set of rational functions. Mathematical Notes, 1999, vol. 65, pp. 302–307.Takenaka S. On the orthogonal functions and a new formula of interpolations // Jpn. J. Math. 1925. Vol. 2, N 1. P. 129–145.Takenaka S. On the orthogonal functions and a new formula of interpolations. Jpn. J. Math., 1925, vol. 2, iss. 1, pp. 129–145.Malmquist F. Sur la de´termination d’une classe functions analytiques par leurs dans un ensemble donne´ de points // Compte Rendus Sixie´me Congre´s math. scand. Kopenhagen, Denmark, 1925. P. 253–259.Malmquist F. Sur la de´termination d’une classe functions analytiques par leurs dans un ensemble donne´ de points. Compte Rendus Sixie´me Congre´s math. scand. Kopenhagen, Denmark, 1925, pp. 253–259.Джрбашян М. М., Китбалян А. А. Об одном обобщении полиномов Чебышёва // Доклады АН Армянской ССР. 1964. Т. 38, № 5. С. 263–270.Dzhrbashyan M. M., Kitbalyan A. A. On a generalization of Chebyshev polynomials. Doklady AN Armyanskoi SSR, 1964, vol. 38, iss. 5, pp. 263–270 (in Russian).Rovba E. A., Mikulich E. G. Constants in rational approximation of Markov–Stieltjes functions with fixed number of poles // Vesnik of Yanka Kupala State University of Grodno. Series 2. Mathematics. Physics. Informatics, Сomputer Technology and its Сontrol. 2013. Vol. 1, N 148. P. 12–20.Rovba E. A., Mikulich E. G. Constants in rational approximation of Markov–Stieltjes functions with fixed number of poles. Vesnik of Yanka Kupala State University of Grodno. Series 2. Mathematics. Physics. Informatics, Сomputer Technology and its Сontrol, 2013, vol. 1, iss. 148, pp. 12–20.Лунгу К. Н. О наилучших приближениях рациональными функциями с фиксированным числом полюсов // Матем. сб. 1971. Т. 86(128), № 2(10). С. 314–324.Lungu K. N. On the best approximations by rational functions with a fixed number of poles. Mathematics of the USSR-Sbornik, 1971, vol. 86(128), iss. 2(10), pp. 314–324 (in Russian).Лунгу К. Н. О наилучших приближениях рациональными функциями с фиксированным числом полюсов // Сиб. матем. журн. 1984. Т. XXV, № 2. С. 150–159.Lungu K. N. On the best approximations by rational functions with a fixed number of poles. Siberian Mathematical Journal, 1984. vol. XXV, iss. 2. pp. 150–159 (in Russian).Jackson D. The theory of approximation. Colloq. Publ. Amer. Math. Soc. Vol. XI. 1930. 184 p.Jackson D. The theory of approximation. Colloq. Publ. Amer. Math. Soc. Vol. XI, 1930. 184 p.Schurer F., Steutel F. W. On the degree of approximation of functions in with operators of the Jackson type // J. Approx. Theory. 1979. Vol. 27, N 2. P. 153–178.Schurer F., Steutel F. W. On the degree of approximation of functions in with operators of the Jackson type. J. Approx. Theory, 1979. vol. 27, iss. 2, pp. 153–178.Wafi A. Saturation of local approximation by linear positive operators of Jackson type // Indian J. Pure Appl. Math. 1980. Vol. 11, N 9. P. 1194–1201.Wafi A. Saturation of local approximation by linear positive operators of Jackson type. Indian J. pure appl. Math., 1980, vol. 11, iss. 9, pp. 1194–1201.Алексеев В. Г. Ядра типа Джексона и их применение к построению фильтров низких частот // Проблемы передачи информации. 1994. Т. 30, № 1. С. 97–102.Alekseev V. G. Jackson-type kernels and their application to the construction of low-pass filters. Problemy peredachi informatsii, 1994, vol. 30, iss. 1, pp. 97–102 (in Russian).Алексеев В. Г. Ядра типа Джексона и Джексона–Валле Пуссена и их вероятностные применения // Теория вероятности и ее применение. 1996. Т. 41, № 1. С. 170–177.Alekseev V. G. Jackson and Jackson–Vallee Poussin-type kernels and their probabilistic applications. Teoriya veroyatnosti i ee primenenie, 1996, vol. 41, iss. 1, pp. 170–177 (in Russian).Сафронова Г. П. О методе суммирования расходящихся рядов, связанном с сингулярным интегралом Джексона // Доклады АН СССР. 1950. Т. 73, № 2. С. 277–278.Safronova G. P. On the method of summation of divergent series related to the singular Jackson integral. Doklady AN SSSR, 1950, vol. 73, iss. 2, pp. 277–278 (in Russian).Покало А. К. Об одном классе линейных методов суммирования рядов Фурье дифференцируемых функций // Весцi Акадэмii навук Беларускай ССР. Сер. фiз.-мат. навук. 1969. № 2. С. 48–49.Pokalo A. K. On one class of linear methods for summing Fourier series of differentiable functions. Vestsi Akademii navuk Belaruskai SSR. Ser. fiz.-mat. navuk, 1969, vol. 2, pp. 48–49 (in Russian).Поцейко П. Г. Об одном представлении сингулярного интеграла Джексона и аппроксимации функции x s на отрезке [ 1, 1] // Веснiк Гродз. дзярж. ун-та iмя Янкi Купалы. Сер. 2, Матэматыка. Фiзiка. Iнфарматыка, вылiчальная тэхнiка i кiраванне. 2019. Т. 9, № 2. С. 22–38.Potseiko P. G. On one representation of the singular Jackson integral and the approximation of the function x s on the segment [ 1, 1]. Vesnik of Yanka Kupala State University of Grodno. Series 2. Mathematics. Physics. Informatics, Сomputer Technology and Сontrol, 2019, vol. 9, iss. 2, pp. 22–38 (in Russian).Русак В. Н. О приближении рациональными функциями на вещественной оси // Изв. АН БССР. Сер. физ.-тех. наук. 1974. № 1. С. 22–28.Rusak V. N. On approximation by rational functions on the real axis. Izv. AN BSSR. Ser. fiz.-tekh. nauk, 1974, vol. 1, pp. 22–28 (in Russian).Русак В. Н. О порядке приближения положительными рациональными операторами // Изв. АН БССР. Сер. физ.-матем. наук. 1975. № 3. С. 39–46.Rusak V. N. On the order of approximation by positive rational operators. Izv. AN BSSR. Ser. fiz.-tekh. nauk, 1975, iss. 3. pp. 39–46 (in Russian).Пекарский А. А. Чебышевские рациональные приближения в круге, на окружности и на отрезке // Матем. сб. 1987. Т. 133(175), № 1(5). С. 86–102.Pekarskii A. A. Chebyshev rational approximations in a circle, on a circle and on a segment. Mathematics of the USSR-Sbornik, 1988, vol. 61, iss. 1, pp. 87–102.Ровба Е. А. Рациональные интегральные операторы на отрезке // Вестн. БГУ. Сер. 1, Физика. Математика. Информатика. 1996. № 1. С. 34–39.Rovba E. A. Rational integral operators on a segment. Vestn. BGU. Ser. 1, Fizika. Matematika. Informatika, 1996, no. 1, pp. 34–39 (in Russian).Смотрицкий К. А. О приближении выпуклых функций рациональными интегральными операторами на отрезке // Весник БГУ. Сер. 1. 2005. № 3. С. 64–70.Smotritskii K. A. On the approximation of convex functions by rational integral operators on a segment. Vesnik BGU. Ser. 1., 2005, no. 3, pp. 64–70 (in Russian).Ровба Е. А., Поцейко П. Г. Об одном рациональном сингулярном интеграле Джексона на отрезке // Докл. НАН Беларуси. 2019. Т. 63, № 4. С. 398–407.Rovba E. A., Potseiko P. G. On a rational singular Jackson integral on a segment. Dokl. NAN Belarusi, 2019, vol. 63, no. 4, pp. 398–407 (in Russian).Ровба Е. А. Об одном прямом методе в рациональной аппроксимации // Докл. АН БССР. 1979. Т. 23, № 11. С. 968–971.Rovba E. A. On one direct method in rational approximation. Docl. AN BSSR, 1979, vol. 23, iss. 11, pp. 968–971 (in Russian).Patseika P. G., Rouba Y. A., Smatrytski K. A. On one rational integral operator of Fourier– Chebyshev type and approximation of Markov functions // J. BSU, Math. Inform. 2020. Vol. 2. P. 6–27.Patseika P. G., Rouba Y. A., Smatrytski K. A. On one rational integral operator of Fourier– Chebyshev type and approximation of Markov functions. J. BSU, Math. Inform, 2020, vol. 2, pp. 6–27.Поцейко П. Г., Ровба Е. А. О рациональных суммах Абеля–Пуассона на отрезке и аппроксимациях функций Маркова // Журн. БГУ. Математика. Информатика. 2021. Т. 3. С. 6–24.Potseiko P. G., Rovba E. A. On rational Abel–Poisson sums on a segment and approximations of Markov functions. J. BSU, Math. Inform, 2021, vol. 3, pp. 6–24.Поцейко П. Г., Ровба Е. А. О рациональных аппроксимациях функции Маркова на отрезке суммами Фейера с фиксированным количеством полюсов // Труды Института математики. 2022. Т. 30, № 1–2. С. 57–77.Potseiko P. G., Rovba E. A. On rational approximations of the Markov function on a segment by Fejer sums with a fixed number of poles. Trudy Instituta matematiki, 2022, vol. 30, iss. 1–2, pp. 57–77 (in Russian).Поцейко П. Г., Ровба Е. А. Суммы Валле Пуссена рациональных интегральных операторов Фурье–Чебышёва и аппроксимации функции Маркова // Алгебра и анализ. 2023. Т. 35, № 5. С. 183–208.Potseiko P. G., Rovba E. A. Vallee´ Poussin sums of Fourier–Chebyshev rational integral operators and approximations of the Markov function. St. Petersburg Mathematical Journal, 2024, vol. 35, iss. 5, pp. 879–896. https://doi.org/10.1090/spmj/1834.Сидоров Ю. В., Федорюк М. В., Шабунин М. И. Лекции по теории функций комплексного переменного. М.: Наука, Гл. ред. Физ.-мат. лит-ры, 1989. 480 с.Sidorov Yu. V., Fedoryuk M. V., Shabunin M. I. Lectures on the Theory of Functions of a Complex Variable. Moscow, Nauka, Gl. red. Fiz.-mat. lit-ry, 1989. 480 p. (in Russian).Евграфов М. А. Асимптотические оценки и целые функции. М.: Наука, 1979. 320 с.Evgrafov M. A. Asymptotic Estimates and Integer Functions. Moscow, Nauka, 1979. 320 p. (in Russian).Федорюк М. В. Асимптотика. Интегралы и ряды. М.: Гл. ред. Физ.-мат. лит-ры, 1987. 544 с.Fedoryuk M. V. Asymptotics. Integrals and Series. Moscow, Gl. red. Fiz.-mat. lit-ry, 1987. 544 p. (in Russian).Бернштейн С. Н. Экстремальные свойства полиномов и наилучшее приближение непрерывных функций одной вещественной переменной. М.; Л.: Гл. ред. общетехн. лит-ры, 1937. Ч. 1. 200 с.Bernshtein S. N. Extreme Properties of Polynomials and the Best Approximation of Continuous Functions of One Real Variable. Part 1. Moscow, Leningrad, The main editorial office of general technical literature, 1937. 200 p. (in Russian).

The authors declare that there are no conflicts of interest present.