mathnasТруды Института математики НАН БеларусиProceedings of the Institute of Mathematics of the NAS of Belarus1812-5093Институт математики НАН БеларусиCRDMSFmathnas-94Research ArticleАЛГЕБРА И ТЕОРИЯ ЧИСЕЛALGEBRA AND NUMBER THEORYМногочлены над кольцами с делениемPolynomials over division ringsГуторА. Г.GoutorA. G.

Минск

Minsk

goutor7@gmail.comТихоновС. В.TikhonovS. V.

Минск

Minsk

tikhonovsv@bsu.byБелорусский государственный университетBelarusian State University2025050120263321320Copyright © Гутор А.Г., Тихонов С.В., 20262026Гутор А.Г., Тихонов С.В.Goutor A.G., Tikhonov S.V.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://mathnas.ejournal.by/jour/article/view/94

В работе рассматриваются свойства многочленов с коэффициентами в кольцах с делением. Получена теорема о разложении многочлена с коэффициентами в произвольном кольце с делением. Показано, что если нецентральный элемент не является корнем многочлена над произвольным кольцом с делением, то в классе сопряженности этого элемента бесконечно много элементов, не являющихся корнями этого многочлена. Также в работе получены оценки для количества различных классов сопряженности сферических корней для некоторых типов многочленов над алгебрами кватернионов.

We consider properties of polynomials with coefficients in division rings. A theorem on the decomposition of a polynomial with coefficients in an arbitrary division ring is obtained. It is shown that if a non-central element is not a root of a polynomial over an arbitrary division ring, then the conjugacy class of this element contains infinitely many elements that are not roots of this polynomial. The paper also contains estimates for the number of different conjugacy classes of spherical roots for some types of polynomials over quaternion algebras.

кольцо с делениемкорень (правый) многочленаалгебра обобщенных кватернионовкласс сопряженности элементасферический кореньdivision ring(right) root of a polynomialalgebra of generalized quaternionsconjugacy class of an elementspherical rootРабота выполнена в рамках НИР «Разработка алгебро-геометрических и представленческих методов исследования конечнопорожденных групп, конечномерных алгебр и квадратичных форм», государственной программы научных исследований «Конвергенция–2025», № ГР 20212390ReferencesOre O. Theory of non-commutative polynomials // Ann. of Math (2). 1933. Vol. 34, N 3. P. 480–508.Ore O. Theory of non-commutative polynomials. Ann. of Math. (2), 1933, vol. 34, no. 3, pp. 480–508.Lam T. Y. A First Course in Noncommutative Rings. Graduate Texts in Mathematics 131. New York: Springer-Verlag, 1991.Lam T. Y. A First Course in Noncommutative Rings. Graduate Texts in Mathematics 131. New York, Springer-Verlag, 1991.Gordon B., Motzkin T. S. On the zeros of polynomials over division rings // Trans. Amer. Math. Soc. 1965. Vol. 116. P. 218–226.Gordon B., Motzkin T. S. On the zeros of polynomials over division rings. Trans. Amer. Math. Soc., 1965, vol. 116, pp. 218–226.Bray U., Whaples G. Polynomials with coefficients from a division ring // Can. J. Math. 1983. Vol. 35. P. 509–515.Bray U., Whaples G. Polynomials with coefficients from a division ring. Can. J. Math., 1983, vol. 35, pp. 509–515.Beck B. Sur les e`quations polynomiales dans les quaternions // Enseign. Math. (2). 1979. Vol. 25, N 3–4. P. 193—201.Beck B. Sur les e`quations polynomiales dans les quaternions. Enseign. Math. (2), 1979, vol. 25, no. 3–4, pp. 193–201.Goutor A. G., Tikhonov S. V. Roots of polynomials over division rings // Доклады Национальной академии наук Беларуси. 2024. Т. 68, № 5. С. 359–364. https://doi.org/10.29235/1561-8323-2024-68-5-359-364Goutor A. G., Tikhonov S. V. Roots of polynomials over division rings. Doklady Natsional’noi akademii nauk Belarusi = Doklady of the National Academy of Sciences of Belarus, 2024, vol. 68, no. 5, pp. 359–364. https://doi.org/10.29235/1561-8323-2024-68-5-359-364Пирс Р. Ассоциативные алгебры. М.: Мир, 1986. 543 с.Pierce R. S. Associative Algegras. New York, Springer, 1982. 436 p.Falca˜o M. I., Miranda F., Severino R., Soares M. J. Mathematica tools for quaternionic polynomials. Computational Science and its Applications. ICCSA 2017. Part II. Lecture Notes in Comput. Sci., 10405 Springer, Cham, 2017, pp. 394–408.Falca˜o M. I., Miranda F., Severino R., Soares M. J. Mathematica tools for quaternionic polynomials. Computational Science and its Applications. ICCSA 2017. Part II. Lecture Notes in Comput. Sci., 10405 Springer, Cham, 2017, pp. 394–408.Huang L., So W. Quadratic formulas for quaternions. Appl. Math. Lett., 2002, vol. 15, no. 5, pp. 533–540.Huang L., So W. Quadratic formulas for quaternions. Appl. Math. Lett., 2002, vol. 15, no. 5, pp. 533–540.Janovska´ D., Opfer G. A note on the computation of all zeros of simple quaternionic polynomials. SIAM J. Numer. Anal., 2010, vol. 48, no. 1, pp. 244–256.Janovska´ D., Opfer G. A note on the computation of all zeros of simple quaternionic polynomials. SIAM J. Numer. Anal., 2010, vol. 48, no. 1, pp. 244–256.Seroˆdio R., Pereira E., Vito´ria J. Computing the zeros of quaternion polynomials. Comput. Math. Appl., 2001, vol. 42, no. 8–9, pp. 1229–1237.Seroˆdio R., Pereira E., Vito´ria J. Computing the zeros of quaternion polynomials. Comput. Math. Appl., 2001, vol. 42, no. 8–9, pp. 1229–1237.Seroˆdio R., Siu L.-S. Zeros of quaternion polynomials. Appl. Math. Lett., 2001, vol. 14, no. 2, pp. 237–239.Seroˆdio R., Siu L.-S. Zeros of quaternion polynomials. Appl. Math. Lett., 2001, vol. 14, no. 2, pp. 237–239.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.