mathnasТруды Института математики НАН БеларусиProceedings of the Institute of Mathematics of the NAS of Belarus1812-5093Институт математики НАН Беларуси517.5mathnas-8Research ArticleВЕЩЕСТВЕННЫЙ, КОМПЛЕКСНЫЙ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗREAL, COMPLEX AND FUNCTIONAL ANALYSISОб аппроксимациях интеграла Римана–Лиувилля на отрезке рациональными интегральными операторами Фурье–ЧебышёваOn approximations of Riemann–Liouville integral on a segement by rational Fourier–Chebyshev integral operatorsПоцейкоП. Г.PatseikaP. G.

Гродно

Grodno

pahamatby@gmail.comРовбаЕ. А.RoubaY. A.

Гродно

Grodno

rovba.ea@gmail.comГродненский государственный университет имени Янки КупалыYanka Kupala State University of Grodno2024290920243213856Copyright © Поцейко П.Г., Ровба Е.А., 20242024Поцейко П.Г., Ровба Е.А.Patseika P.G., Rouba Y.A.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://mathnas.ejournal.by/jour/article/view/8

Исследуются аппроксимации интеграла Римана-Лиувилля на отрезке рациональными интегральными операторами Фурье-Чебышёва. Найдено интегральное представление приближений. Изучаются рациональные аппроксимации интеграла Римана-Лиувилля с плотностью $\varphi_\gamma(x) = (1-x)^\gamma,$ $\gamma >0,$ устанавливаются оценки поточечных и равномерных приближений. В случае одного полюса в открытой комплексной плоскости у аппроксимирующей функции получено асимптотическое выражение мажоранты равномерных приближений и оптимальное значение параметра, при котором мажоранта имеет асимптотически наибольшую скорость убывания. В качестве следствия получены оценки приближений интеграла Римана-Лиувилля с плотностью, принадлежащей некоторым классам непрерывных функций на отрезке, частичными суммами полиномиального ряда Фурье-Чебышёва.

Approximations of Riemann–Liouville integral on a segment by rational integral operators Fourier–Chebyshev are investigated. An integral representation of the approximations is found. Rational approximations Riemann–Liouville integral with density $\varphi_\gamma(x) = (1-x)^\gamma,$ $\gamma \in (0,+\infty)\backslash\mathbb{N},$ are studied, estimates of pointwise and uniform approximations are established. In the case of one pole in an open complex plane, an asymptotic expression is obtained for the approximating function majorants of uniform approximations and the optimal value of the parameter at which the majorant has the asymptotically highest rate of decrease. As a consequence, estimates of approximations of Riemann–Liouville integral with density belonging to some classes of continuous functions on the segment by partial sums of the polynomial Fourier–Chebyshev series are obtained.

интеграл Римана–Лиувиллярациональный интегральный оператор Фурье–Чебышёвафункции со степенной особенностьюравномерные приближенияасимптотические оценкиметод ЛапласаRiemann–Liouville integralrational Fourier–Chebyshev integral operatorfunctions with power singularityuniform approximationsasymptotic estimatesLaplace methodРабота выполнена при финансовой поддержке государственной программы научных исследований «Конвергенция 2020», № 20162269The work was carried out with financial support from the state scientific research program “Convergence 2020”, No. 20162269ReferencesСамко С. Г., Килбас А. А., Маричев О. И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск: Наука и техника, 1987.Samko S. G., Kilbas A. A., Marichev O. I. Integrals and derivatives of fractional order and some of their applications. Minsk, Nauka i tekhnika Publ., 1987 (in Russian).Никольский С. М. О наилучшем приближении функции, s-ая производная которой имеет разрывы первого рода // Докл. АН СССР. 1947. Т. 55, № 2. С. 99–102.Nikol’skii S. M. On the best approximation of a function whose s-th derivative has discontinuities of the first kind. Dokl. Academy of Sciences of the USSR, 1947, vol. 55, no. 2, pp. 99–102 (in Russian).Тюленева А. А. Приближение интегралов Римана–Лиувилля алгебраическими полиномами на отрезке // Изв. Саратовского ун-та. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2014. Т. 14, № 3. С. 305–311.Tyleneva A. A. Approximation of the Riemann–Liouville integrals by algebraic polynomials on the segment. Izv. Saratov University. Ser. Math. Fur. Inform., 2014, vol. 14, no. 3, pp. 305–311 (in Russian).Ганзбург И. М. О приближении функций с заданным модулем непрерывности суммами П. Л. Чебышёва // Докл. АН СССР. 1953. Т. 91, № 6. С. 1253–1256.Ganzburg I. M. On the approximation of functions with a given modulus of continuity by P. L. Chebyshev sums. Dokl. Academy of Sciences of the USSR, 1953, vol. 91, no. 6, pp. 1253–1256 (in Russian).Бадков В. М. Приближение функций в равномерной метрике суммами Фурье по ортогональным полиномам // Тр. МИАН СССР. 1980. Т. 145. С. 20–62.Badkov V. M. Approximation of functions in the uniform metric by Fourier sums over orthogonal polynomials. Trudy MIAN SSSR, 1980, vol. 145, pp. 20–62 (in Russian).Селиванова С. Г. Асимптотические оценки приближений дифференцируемых непериодических функций суммами Чебышёва // Докл. АН СССР. 1955. Т. 105, № 4. С. 648–651.Selivanova S. G. Asymptotic estimates for approximations of differentiable non-periodic functions by Chebyshev sums. Dokl. Academy of Sciences of the USSR, 1955, vol. 105, no. 4, pp. 648–651 (in Russian).Тиман А. Ф., Тучинский Л. И. Приближение дифференцируемых функций, заданных на конечном отрезке алгебраическими многочленами // Докл. АН СССР. 1956. Т. 111, № 4. С. 771–773.Timan A. F., Tuchinskii L. I. Approximation of differentiable functions defined on a finite interval by algebraic polynomials. Dokl. Academy of Sciences of the USSR, 1956, vol. 111, no. 4, pp. 771–773 (in Russian).Райцин Р. А. О наилучшем приближении одного класса дифференцируемых функций алгебраическими многочленами // Изв. вузов. Математика. 1976. № 1. С. 64–74.Raitsin R. A The best approximation of a certain class of differentiable functions by algebraic polynomials. Soviet Math. (Iz. VUZ), 1976, vol. 20, no. 1, pp. 54–62.Райцин Р. А. О рядах Фурье–Чебышёва одного класса функций // Изв. вузов. Математика. 1988. № 10. С. 79–81.Raitsin R. A. Fourier–Chebyshev series of a class of functions. Soviet Math. (Iz. VUZ), 1988, vol. 32, no. 10, pp. 123–126.Ровба Е. А. Приближение функций, дифференцируемых в смысле Римана–Лиувилля, рациональными операторами // Докл. Нац. акад. наук Беларуси. 1996. Т. 40, № 6. С. 18–22.Rovba E. A. Approximation of functions differentiable in the Riemann–Liouville sense by rational operators. Doklady of the National Academy of Sciences of Belarus, 1996, vol. 40, no. 6, pp. 18–22 (in Russian).Смотрицкий К. А. Аппроксимация рациональными операторами Валле–Пуссена на отрезке // Тр. Ин-та математики. 2001. Т. 9. С. 110–114.Smotritskii K. A. Approximation by rational operators of Valle Poussin on a segment. Trudy Instituta matematiki, 2001, vol. 9, pp. 136–139 (in Russian).Смотрицкий К. А. О приближении дифференцируемых в смысле Римана–Лиувилля функций // Becцi Нац. акад. навук. Сер. фiз.-мат. навук. 2002. № 4. С. 42–47.Smotritskii K. A. On the approximation of functions differentiable in the sense of Riemann-Liouville. Vestsi NAN Belarusi. Ser. fiz.-mat. navuk, 2002, no. 4, pp. 42–47 (in Russian).Рыбаченко И. В. Рациональная интерполяция функций с производной Римана–Лиувилля из Lp // Вестник БГУ. Сер. 1. 2006. № 2. С. 69–74.Rybachenko I. V. Rational interpolation of functions with the Riemann–Liouville derivative from Lp. Vestnik BGU. Ser. 1, 2006, no. 2, pp. 69–74 (in Russian).Старовойтов А. П. Сравнение скоростей рациональных и полиномиальных аппроксимаций дифференцируемых функций // Математические заметки. 1988. Т. 44, № 4. С. 528–535.Starovoitov A. P. Comparison of the rates of rational and polynomial approximations of differentiable functions. Math. Notes, 1988, vol. 44, no. 4, pp. 770–774.Старовойтов А. П. Рациональные приближения дробных интегралов Римана–Лиувилля и Вейля // Математические заметки. 2005. Т. 78, № 3. С. 428–441.Starovoitov A. P. Rational approximations of Riemann–Liouville and Weyl fractional integrals. Math. Notes, 2005, vol. 78, no. 3, pp. 391–402.Пашковский С. Вычислительные применения многочленов и рядов Чебышёва. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит-ры, 1983.Pashkovskii S. Computational applications of polynomials and Chebyshev series. Moscow, Nauka. Gl. red. fiz.-mat. lit-ry, 1983 (in Russian).Васильев Н. И., Клоков Ю. А., Шкерстена А. Я. Применение полиномов Чебышёва в численном анализе. Рига: Зинатне, 1984.Vasiliev N. I., Klokov Yu. A., Shkerstena A. Ya. Application of Chebyshev polynomials in numerical analysis. Riga, Zinatne Publ., 1984 (in Russian).Суетин П. К. Классические ортогональные многочлены. 3-е изд., перераб. и доп. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005.Suetin P. K. Classical orthogonal polynomials. 3<sup>rd</sup> ed., revised. and additional Moscow, FIZMATLIT Publ., 2005.Марфицын С. В., Марфицын В. П. Применение полиномов Чебышёва 1-го рода для описания устойчивых состояний металла при постоянных и переменных нагрузках // Вестн. Курганского госун-та. Сер. техн. науки. 2016. Вып. 1, № 3. С. 96–98.Marfitsyn S. V., Marfitsyn V. P. The use of Chebyshev’s polynomials of the first type for a description of the steady-state conditions of metal under constant and variable loading. Vestnik Kurganskogo gosuniversiteta. Ser. tekhn. nauki, 2016, iss. 1, no. 3, pp. 96–98 (in Russian).Miyakoda T. Direct discretization of the fractional-order differential by using Chebyshev series expansion // PAMM Proc. Appl. Math. Mech. 2007. Vol. 7. P. 2020011–2020012.Miyakoda T. Direct discretization of the fractional-order differential by using Chebyshev series expansion. PAMM Proc. Appl. Math. Mech., 2007, vol. 7, pp. 2020011–2020012.Ровба Е. А. Об одном прямом методе в рациональной аппроксимации // Докл. НАН БССР. 1979. Т. 23, № 11. С. 968–971.Rovba E. A. On one direct method in rational approximation. Dokl. NAS BSSR, 1979, vol. 23, no. 11, pp. 968–971 (in Russian).Patseika P. G., Rouba Y. A., Smatrytski K. A. On one rational integral operator of Fourier–Chebyshev type and approximation of Markov functions // Journal of the Belarusian State University. Mathematics and Informatics. 2020. Vol. 2. P. 6–27.Patseika P. G., Rouba Y. A., Smatrytski K. A. On one rational integral operator of Fourier–Chebyshev type and approximation of Markov functions. Journal of the Belarusian State University. Mathematics and Informatics, 2020, vol. 2, pp. 6–27.Поцейко П. Г., Ровба Е. А. Приближения на классах интегралов Пуассона рациональными интегральными операторами Фурье–Чебышёва // Сиб. матем. журн. 2021. Т. 62, № 2. С. 362–386.Potseiko P. G., Rovba Y. A. Approximations on classes of Poisson integrals by Fourier–Chebyshev rational integral operators. Siberian Math. J., 2021, vol. 62, no. 2, pp. 292–312.Русак В. Н. Рациональные функции как аппарат приближения. Минск: БГУ, 1979.Rusak V. N. Rational functions as an apparatus of approximation. Minsk, Belorusskii gosudarstvennyi universitet im. V. I. Lenina, 1979. 179 p. (in Russian).Никольский С. М. О наилучшем приближении многочленами функций, удовлетворяющих условию Липшица // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1946. Т. 10, № 4. С. 295–322.Nikolsky S. On the best approximation of functions satisfying Lipschitz’s conditions by polynomials. Izvestia Akad. Nauk SSSR, 1946, vol. 10, no. 4, pp. 295–322 (in Russian).Евграфов М. А. Асимптотические оценки и целые функции. М.: Наука, 1979.Evgrafov M. A. Asymptotic estimates and entire functions. Moscow, Nauka Publ., 1979. 320 p. (in Russian).Федорюк М. В. Асимптотика. Интегралы и ряды. М.: Гл. ред. физ.-мат. лит-ры, 1987.Fedoryuk M. V. Asymptotics. Integrals and series. Moscow, Nauka Publ., 1987. 544 p. (in Russian).Пинкевич В. Т. О порядке остаточного члена ряда Фурье функций, дифференцируемых в смысле Wey’я // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1940. Т. 4, № 6. С. 521–528.Pinkewitch W. Sur l’ordre du reste de la serie de Fourier des fonctions derivables au sens de Weyl. Izvestia Akad. Nauk SSSR, 1940, vol. 4, no. 6, pp. 521–528 (in Russian).

The authors declare that there are no conflicts of interest present.