mathnasТруды Института математики НАН БеларусиProceedings of the Institute of Mathematics of the NAS of Belarus1812-5093Институт математики НАН Беларусиmathnas-70Research ArticleВЕЩЕСТВЕННЫЙ, КОМПЛЕКСНЫЙ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗREAL, COMPLEX AND FUNCTIONAL ANALYSISСуществование и явный вид нелинейных аппроксимаций Эрмита–ЧебышёваExistence and explicit form of nonlinear Hermite–Chebyshev approximationsСтаровойтовА. П.StarovoitovA. P.

Гомель

Gomel

svoitov@gsu.byКругликовИ. В.KruglikovI. V.

Гомель

Gomel

igor.v.kruglikov@gmail.comГомельский государственный университет им. Ф. СкориныF. Skorina Gomel State University2025300620253317586Copyright © Старовойтов А.П., Кругликов И.В., 20252025Старовойтов А.П., Кругликов И.В.Starovoitov A.P., Kruglikov I.V.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://mathnas.ejournal.by/jour/article/view/70

В работе найдены достаточные условия существования тригонометрических аппроксимаций Эрмита–Якоби системы функций, являющихся суммами сходящихся рядов Фурье. Опираясь на эти результаты, установлены достаточные условия, при которых существуют нелинейные аппроксимации Эрмита–Чебышёва систем функций, представимых рядами Фурье по многочленам Чебышёва первого и второго рода. При выполнении найденных условий получены явные формулы для числителей и знаменателей тригонометрических аппроксимаций Эрмита–Якоби и нелинейных аппроксимаций Эрмита–Чебышёва первого и второго рода указанных систем функций.

In this paper, sufficient conditions for the existence of trigonometric Hermite–Jacobi approximations of a system of functions that are sums of convergent Fourier series are found. Based on these results, sufficient conditions are established under which nonlinear Hermite–Chebyshev approximations of systems of functions representable by Fourier series in Chebyshev polynomials of the first and second kind exist. When the found conditions are met, explicit formulas are obtained for the numerators and denominators of trigonometric Hermite–Jacobi approximations and nonlinear Hermite–Chebyshev approximations of the first and second kind of the specified systems of functions.

ряды по многочленам Чебышёвааппроксимации Эрмита–Падеаппроксимации Паде–Чебышёватригонометрические аппроксимации Эрмита–Якобинелинейные аппроксимации Эрмита–Чебышёваseries in Chebyshev polynomialsHermite–Padé approximationsPadé–Chebyshev approximationstrigonometric Hermite–Jacobi approximationsnonlinear Hermite–Chebyshev approximationsРабота выполнена при финансовой поддержке Министерства образования Республики Беларусь в рамках Государственной программы научных исследований на 2021–2025 годы.ReferencesНикишин Е. М., Сорокин В. Н. Рациональные аппроксимации и ортогональность. М.: Наука, 1988.Nikishin E. M., Sorokin V. N. Rational approximations and orthogonality. Moscow, Nauka, 1988 (in Russian).Суетин С. П. О существовании нелинейных аппроксимаций Паде–Чебышёва для аналитических функций // Математические заметки. 2009. Т. 86, № 2. С. 290–303.Suetin S. P. On the existence of nonlinear Pade´–Chebyshev approximations for analytical functions. Mathematical Notes, 2009, vol. 86, iss. 2, pp. 290–303 (in Russian).Гончар А. А., Рахманов Е. А., Суетин С. П. Аппроксимации Паде–Чебышёва для многозначных аналитических функций, вариация равновесной энергии и S-свойство стационарных компактов // Успехи мат. наук. 2011. Т. 66, № 6. С. 3–36.Gonchar A. A., Rakhmanov E. A., Suetin S. P. Pade´–Chebyshev approximations for multivalued analytical functions, equilibrium energy variation and the S-property of stationary compacts. Russian Mathematical Surveys, 2011, vol. 66, iss. 6, pp. 3–36 (in Russian).Бейкер мл. Дж., Грейвс-Моррис. П. Аппроксимации Паде. 1. Основы теории. 2. Обобщения и приложения. М.: Мир, 1986.Baker Jr. G., Graves-Morris P. Pade´ Approximations. 1. Fundamentals of theory. 2. Generalizations and applications. Moscow, Mir, 1986 (in Russian).Лабыч Ю. А., Старовойтов А. П. Тригонометрические аппроксимации Паде функций с регулярно убывающими коэффициентами Фурье // Математический сб. 2009. Т. 200, № 7. С. 107– 130.Labych Yu. A., Starovoitov A. P. Trigonometric Pade´ approximations of functions with regularly decreasing Fourier coefficients. Sbornik: Mathematics, 2009, vol. 200, iss. 7, pp. 107–130 (in Russian).Geddes K. O. Block structure in the Chebyshev–Pade´ table // SIAM J. Numer. Anal. 1981. Vol. 18, N 5. P. 844–861.Geddes K. O. Block structure in the Chebyshev–Pade´ table. SIAM J. Numer. Anal., 1981, vol. 18, iss. 5, pp. 844–861.Адуков В. М., Ибряева О. Л. Асимптотическое поведение знаменателей аппроксимаций Паде–Чебышёва для последней промежуточной строки. Рациональный случай // Вестник ЮУрГУ. Сер. Математика. Физика. Химия. 2005. Т. 6, № 6. С. 11–18.Adukov V. M., Ibryaeva O. L. The asymptotic behavior of the denominators of the Pade´– Chebyshev approximations for the last intermediate row. The rational case. Bulletin of the South Ural State University, series «Mathematics. Mechanics. Chemistry», 2005, vol. 6, iss. 6, pp. 11–18 (in Russian).Ибряева О. Л. Достаточное условие единственности линейной аппроксимации Паде– Чебышёва // Известия Челябинского научного центра. 2002. № 4. С. 1–5.Ibryaeva O. L. Sufficient condition for the uniqueness of the linear Pade´–Chebyshev approximation. News of the Chelyabinsk Scientific Center, 2002, iss. 4, pp. 1–5 (in Russian).Старовойтов А. П., Кечко Е. П., Оснач Т. М. О существовании тригонометрических аппроксимаций Эрмита–Якоби и нелинейных аппроксимаций Эрмита–Чебышёва // Журнал Белорусского государственного университета. Математика. Информатика. 2023. № 2. С. 6–17.Starovoitov A. P., Kechko E. P., Osnach T. M. On the existence of trigonometric Hermite–Jacobi approximations and nonlinear Hermite–Chebyshev approximations. Journal of the Belarusian State University. Mathematics and Informatics, 2023, iss. 2, pp. 6–17 (in Russian).Старовойтов А. П., Кечко Е. П., Оснач Т. М. Существование и единственность совместных аппроксимаций Эрмита–Фурье // Проблемы физики, математики и техники. 2023. № 2 (55). С. 68–73.Starovoitov A. P., Kechko E. P., Osnach T. M. Existence and uniqueness of consistent Hermite– Fourier approximations. Problems of Physics, Mathematics and Technics, 2023, iss. 2 (55), pp. 68–73 (in Russian).Старовойтов А. П., Кругликов И. В., Оснач Т. М. Рациональные аппроксимации степенных, тригонометрических рядов и рядов по многочленам Чебышёва // Журнал Белорусского государственного университета. Математика. Информатика. 2024. № 3. С. 6–21.Starovoitov A. P., Kruglikov I. V., Osnach T. M. Rational approximations of power series, trigonometric series and series of Chebyshev polynomials. Journal of the Belarusian State University. Mathematics and Informatics, 2025, vol. 61, iss. 3, pp. 6–21 (in Russian).Mason J. C., Crampton A. Laurent–Pade´ approximants to four kinds of Chebyshev polynomial expansions. I. Maehly type approximants // Numer. Algorithms. 2005. Vol. 38. P. 3–18.Mason J. C., Crampton A. Laurent–Pade´ approximants to four kinds of Chebyshev polynomial expansions. I. Maehly type approximants. Numer. Algorithms, 2005, vol. 38, pp. 3–18.Mason J. C., Crampton A. Laurent–Pade´ approximants to four kinds of Chebyshev polynomial expansions. II. Clenshaw–Lord type approximants // Numer. Algorithms. 2005. Vol. 38. P. 19–29.Mason J. C., Crampton A. Laurent–Pade´ approximants to four kinds of Chebyshev polynomial expansions. II. Clenshaw–Lord type approximants. Numer. Algorithms, 2005, vol. 38, pp. 19–29.Суетин С. П. Аппроксимации Паде и эффективное аналитическое продолжение степенного ряда // Успехи мат. наук. 2002. Т. 57, № 1. С. 45–142.Suetin S. P. Pade´ approximations and effective analytical continuation of the power series. Russian Mathematical Surveys, 2002, vol. 57, iss. 1, pp. 45–142 (in Russian).Суетин С. П. Вопросы сходимости аппроксимаций Паде–Фабера: дисс. ... канд. физ.-мат. наук. М.: МГУ, 1981.Suetin S. P. Questions of convergence of the Pade´–Faber approximations. Ph. D. thesis. Moscow: MGU, 1981 (in Russian).Старовойтов А. П., Кругликов И. В. Достаточные условия единственности и явный вид линейных аппроксимаций Эрмита–Чебышёва // Проблемы физики, математики и техники. 2025. № 1(62). С. 67–72.Starovoitov A. P., Kruglikov I. V. Uniqueness and explicit form of linear Hermite–Chebyshev approximations. Problems of Physics, Mathematics and Technics, 2025, iss. 1(62), pp. 67–72 (in Russian).Hermite C. Sur la fonction exponentielle. Paris: C.R. Akad. Sci., 1873. Vol. 77. P. 18–293.Hermite C. Sur la fonction exponentielle. Paris, C. R. Akad. Sci., 1873, vol. 77, pp. 18–293.Старовойтов А. П., Рябченко Н. В. О детерминантных представлениях многочленов Эрмита–Паде // Труды Московского математического общества. 2022. Т. 83, № 1. С. 17–35.Starovoitov A. P., Ryabchenko N. V. On determinant representations of Hermite–Pade´ polynomials. Transactions of the Moscow Mathematical Society, 2022, vol. 83, iss. 1, pp. 17–35 (in Russian).Старовойтов А. П., Рябченко Н. В. О единственности решений задач Эрмита–Паде // Весцi Нацыянальнай акадэмii навук. Сер. фiзiка-матэматычных навук. 2019. Т. 55, № 4. С. 445–456.Starovoitov A. P., Ryabchenko N. V. Uniqueness of the solutions of the Hermite–Pade´ problems. Proceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics Series, 2019, vol. 55, iss. 4, pp. 445–456 (in Russian).Jacobi C. Uber die Darstellung einer Reihe gegebner Werthe durch eine gebrochne rationale Function // J. Reine Angew. Math. 1846. Vol. 30. P. 127–156.Jacobi C. Uber die Darstellung einer Reihe gegebner Werthe durch eine gebrochne rationale Function. J. Reine Angew. Math., 1846, vol. 30, pp. 127–156.Аптекарев А. И., Буслаев В. И., Мартинес-Финкельштейн А., Суетин С. П. Аппроксима- ции Паде, непрерывные дроби и ортогональные многочлены // Успехи мат. наук. 2011. Т. 66, № 6 (402). С. 37–122.Aptekarev A. I., Buslaev V. I., Martinez–Finkelshtein A., Suetin S. P. Pade´ approximants, continued fractions, and orthogonal polynomials. Russian Mathematical Surveys, 2011, vol. 66, iss. 6 (402), pp. 37–122 (in Russian).Оснач Т. М., Рябченко Н. В., Старовойтов А. П. Аналог теоремы Якоби для одновременной эрмитовской интерполяции нескольких функций // Проблемы физики, математики и техники. 2023. № 1 (54). С. 89–92.Osnach T. M., Ryabchenko N. V., Starovoitov A. P. An analogue of Jacobi’s theorem for simultaneous Hermitian interpolation of several functions. Problems of Physics, Mathematics and Technics, 2023, iss. 1 (54), pp. 89–92 (in Russian).Németh G., Páris G. The Gibbs phenomenon in generalized Pade´ approximation // J. Math. Phys. 1985. Vol. 26, N 6. P. 1175–1178.Németh G., Páris G. The Gibbs phenomenon in generalized Pade´ approximation. J. Math. Phys., 1985, vol. 26, iss. 6, pp. 1175–1178.De Bruin M. G. Convergence of the Pade´ table for <sub>1</sub>F<sub>1</sub>(1; c; x) // K. Nederl. Akad. Wetensch., Ser. A. 1976. Vol. 79. P. 408–418.De Bruin M. G. Convergence of the Pade´ table for <sub>1</sub>F<sub>1</sub>(1; c; x) K. Nederl. Akad. Wetensch., Ser. A., 1976, vol. 79, pp. 408–418.Аптекарев А. И. Об аппроксимациях Паде к набору {<sub>1</sub>F<sub>1</sub>(1, c; λ<sub>i</sub>z)}<sup>k</sup><sub>i=1</sub> // Вестник МГУ. Сер. 1, Математика. Механика. 1981. № 2. С. 58–62.Aptekarev A. I. On approximations of the Pade´ to the set {<sub>1</sub>F<sub>1</sub>(1, c; λ<sub>i</sub>z)}<sup>k</sup><sub>i=1</sub>. Moscow University Mathematics Bulletin, Moscow University Mеchanics Bulletin, 1981, iss. 2, pp. 58–62 (in Russian).Старовойтов А. П. Аппроксимации Эрмита–Паде функций Миттаг–Леффлера // Труды Математического института имени В. А. Стеклова РАН. 2018. Т. 301. С. 241–258.Starovoitov A. P. Hermite–Pade´ approximations of Mittag–Leffler functions. Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, 2018, vol. 301, pp. 241–258 (in Russian).Andrianov I. V. Application of Pade´ approximants in perturbation methods // Adv. in Mech. 1991. Vol. 14, N 2. P. 3–25.Andrianov I. V. Application of Pade´ approximants in perturbation methods. Adv. in Mech., 1991, vol. 14, iss. 2, pp. 3–25.Andrianov I. V., Awrejcewicz J. New trends in asymptotic approaches: summation and interpolation methods // Appl. Mech. Rev. 2001. Vol. 54, N 1. P. 69–92.Andrianov I. V., Awrejcewicz J. New trends in asymptotic approaches: summation and interpolation methods. Appl. Mech. Rev., 2001, vol. 54, iss. 1, pp. 69–92.Книжнерман Л. А. Выделение полюсов потенциальных полей с помощью разложения в ряды Фурье–Чебышёва // Изв. АН СССР. Сер. Физика Земли. 1984. № 11. С. 119–123.Knizhnerman L. A. Identification of potential field poles using Fourier–Chebyshev series expansion. Proceedings of the USSR Academy of Sciences. Earth Physics Series, 1984, iss. 11, pp. 119–123 (in Russian).Ермохин К. М. Продолжение геофизических полей в область источников аномалий методом аппроксимации цепными дробями // Геофизика. 2007. № 1. С. 51–55.Ermokhin K. M. Continuation of geophysical fields into the area of anomaly sources by the method of approximation by chain fractions. Geophysics, 2007, iss. 1, pp. 51–55 (in Russian).Прохоров Г. В., Колбеев В. В., Желнов К. И., Леденев М. А. Математический пакет Maple V Release 4: Руководство пользователя. Калуга: Облиздат, 1998.Prokhorov G. V., Kolbeev V. V., Zhelnov K. I., Ledenev M. A. Maple V Release 4 Math Package: User’s Guide. Kaluga: Oblizdat, 1998 (in Russian).Tee T. W., Trefethen L. N. A rational spectral collocation method with adaptively transformed Chebyshev grid points // SIAM J. Sci. Comput. 2006. Vol. 28, N 5. P. 1798–1811.Tee T. W., Trefethen L. N. A rational spectral collocation method with adaptively transformed Chebyshev grid points. SIAM J. Sci. Comput., 2006, vol. 28, iss. 5, pp. 1798–1811.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.