mathnasТруды Института математики НАН БеларусиProceedings of the Institute of Mathematics of the NAS of Belarus1812-5093Институт математики НАН Беларусиmathnas-69Research ArticleВЕЩЕСТВЕННЫЙ, КОМПЛЕКСНЫЙ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗREAL, COMPLEX AND FUNCTIONAL ANALYSISТопологические структуры на градуированных множествахTopological structures on graded setsАнтоневичА. Б.AntonevichA. B.

Минск

Минск

antonevich@bsu.byЁжиковаМ. Д.YozhikovaM. D.

Минск

Минск

maya.yo1989banan@gmail.comИнститут математики НАН БеларусиInstitute of Mathematics of the National Academy of Sciences of BelarusБелорусский государственный университетBelarusian State University2025300620253315874Copyright © Антоневич А.Б., Ёжикова М.Д., 20252025Антоневич А.Б., Ёжикова М.Д.Antonevich A.B., Yozhikova M.D.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://mathnas.ejournal.by/jour/article/view/69

Группа $L$ называется градуированной, если она представлена в виде объединения убывающей последовательности подгрупп $L_m$. Предложена общая схема введения так называемой sharp-метрики на таких группах, относительно которой алгебраические операции непрерывны и которая является неархимедовой. Показано, что такая группа всюду плотно вкладывается в полную группу, элементами которой являются ряды специального вида из элементов $L$. Аналогичные конструкции рассмотрены для градуированных колец и градуированных векторных пространств. В качестве примеров показано, что в конкретных частных случаях применение описанной конструкции приводит к построению $p$-адических чисел и  к построению рядов Тейлора и Лорана.

A group $L$ is called graded if it is represented as the union of a decreasing sequence of subgroups $L_m$. A general scheme for introducing the so-called sharp metric on such groups is proposed, with respect to which the algebraic operations are continuous and which is non-archimedean. It is shown that such a group is densely embedded in a complete group whose elements are series of a special type composed of elements of $L$. Similar constructions are considered for graded rings and graded vector spaces. As examples, it is shown that in concrete special cases, the application of the described construction leads to the construction of $p$-adic numbers and to the construction of Taylor and Laurent series.

градуированное множествонеархимедова метрикаsharp-топологияградуированная группаградуированное векторное пространство$p$-адический анализполином Тейлораасимптотическая сходимостьgraded setnon-archimedean metricsharp topologygraded groupgraded vector space$p$-adic analysisTaylor polynomialasymptotic convergence.ReferencesБурбаки Н. Топологические векторные пространства. М., 1959.Bourbaki N. Topological Vector Spaces. Moscow, 1959 (in Russian).Олвер Ф. Введение в асимптотические методы и специальные функции. М.: Наука, 1978.Olver F. Introduction to Asymptotic Methods and Special Functions. Moscow, Nauka, 1978 (in Russian).Васильева А. В., Бутузов В. Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений. М., 1973.Vasil’eva A. V., Butuzov V. F. Asymptotic Expansions of Solutions of Singularly Perturbed Equations. Moscow, 1973 (in Russian).Colombeau J. F. New generalized functions and multiplication of distributions. Amsterdam: North-Holland, 1984. 374 p.Colombeau J. F. New Generalized Functions and Multiplication of Distributions. Amsterdam, North-Holland, 1984, 374 p.Delcroix A., Scarpalezos D. Sharp Topologies on (C, E, P)-Algebras // Nonlineal Theory of Generalized Function, Chaptman & Hall, Research Notes of Mathematics. 1999. Vol. 401. P. 165–174.Delcroix A., Scarpalezos D. Sharp Topologies on (C, E, P)-Algebras. Nonlinear Theory of Generalized Functions, Chapman & Hall, Research Notes in Mathematics, 1999, vol. 401, pp. 165–174.Хренников А. Ю. Неархимедов анализ и его приложения. М.: Физматлит, 2003. 216 с.Khrennikov A. Y. Non-Archimedean Analysis and Its Applications. Moscow, Fizmatlit, 2003 (in Belarussian).Радына А. Я., Радына Я. М., Радына Я. В. Пачаткi неархiмедавага аналiзу: дапам. для студентаў мех.-мат. фак. Мiнск: БДУ, 2010. 111 с.Radyina A. Y., Radyina Y. M., Radyina Y. V. Introduction to Non-Archimedean Analysis: Textbook for Students of Mechanics and Mathematics Faculty. Minsk, BSU, 2010, 111 p. (in Belarussian).Владимиров В. С., Волович И. В., Зеленов Е. И. P-адический анализ и математическая физика. М.: Наука, 1994. 352 с.Vladimirov V. S., Volovich I. V., Zelenov E. I. P-adic Analysis and Mathematical Physics. Moscow, Nauka, 1994, 352 p. (in Russian).Каток С. В. P-адический анализ в сравнении с вещественным. М.: МЦНМО, 2004. 112 с.Katok S. V. P-adic Analysis in Comparison with Real Analysis. Moscow, MCCME, 2004, 112 p. (in Russian).Акушский И. Я., Юдицкий Д. И. Машинная арифметика в остаточных классах. М.: Советское радио, 1968. 439 с.Akushsky I. Y., Yuditsky D. I. Computer Arithmetic in Residue Classes. Moscow, Soviet Radio, 1968, 439 p. (in Russian).Кротов В. Г. Математический анализ: учеб. пособие. Минск: БГУ, 2017.Krotov V. G. Mathematical Analysis: Textbook for BSU. Minsk, 2017 (in Russian).Нарасимхан Р. Анализ на действительных и комплексных многообразиях. М.: Мир, 1971. 232 с.Narasimhan R. Analysis on Real and Complex Manifolds. Moscow, Mir, 1971 (in Russian).

The authors declare that there are no conflicts of interest present.