mathnasТруды Института математики НАН БеларусиProceedings of the Institute of Mathematics of the NAS of Belarus1812-5093Институт математики НАН Беларусиmathnas-41Research ArticleВЕЩЕСТВЕННЫЙ, КОМПЛЕКСНЫЙ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗREAL, COMPLEX AND FUNCTIONAL ANALYSISПрименение действительного пространства Харди-Соболева на прямой для нахождения наилучших рациональных приближений в $L_p$Application of the real Hardy-Sobolev space on the line for finding the best rational approximations in $L_p$МардвилкоТ. С.MardvilkoT. S.

Минск

Minsk

mardvilko@gmail.comБелорусский государственный университетBelarusian State University2024030320253223142Copyright © Мардвилко Т.С., 20252025Мардвилко Т.С.Mardvilko T.S.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://mathnas.ejournal.by/jour/article/view/41

Данная работа посвящена разработке методов действительного пространства Харди-Соболева на прямой для нахождения наилучших рациональных приближений в пространстве $L_p$. В основе рассмотренных методов лежит представление функции данного пространства суммой простых функций и применение интеграла типа Коши. Получены достаточные условия принадлежности функции рассматриваемому пространству и доказаны неравенства для оценки соответствующей $\sigma$-нормы. С помощью полученных результатов найдены точные порядковые оценки наилучших рациональных приближений некоторых функций. В частности, из полученных результатов следует известная оценка наилучших рациональных приближений функции ограниченной вариации.

This work is dedicated to developing methods of the real Hardy-Sobolev space on the line for finding the best rational approximations in the $L_p$ space. The methods considered are based on representing a function of this space as a sum of simple functions and the application of a Cauchy-type integral. Sufficient conditions for a function's membership in the considered space have been obtained and inequalities for assessing the corresponding $\sigma$-norm have been proven. Using the obtained results, exact order estimates of the best rational approximations of certain functions have been found. In particular, from the obtained results, the well-known estimate of the best rational approximations of a function of bounded variation follows.

пространство Хардипространство Соболевапространство Харди-Соболеварациональная аппроксимация$L_p$-приближенияфункции ограниченной вариацииHardy spaceSobolev spaceHardy-Sobolev spacerational approximation$L_p$-approximationsfunctions of bounded variationРабота выполнена при финансовой поддержке ГПНИ «Конвергенция–2025».ReferencesГарнетт Дж. Ограниченные аналитические функции. М.: Мир, 1984.Garnett J. B. Bounded analytic function. Revised first edition. New York: Springer, 2007, XIV.Coifman R. R., Weiss G. Extensions of Hardy spaces and their use in analysis // Bulletin of the American Mathematical Society. 1977. Vol. 83, N 4. P. 569–645.Coifman R. R., Weiss G. Extensions of Hardy spaces and theiruse in analysis. Bulletin of the American Mathematical Society, 1977, vol. 83, no. 4, pp. 569–645.Grafakos L. Modern Fourier analysis // Graduate Texts in Mathematics. 2nd ed. New York: Springer, 2009.Grafakos L. Modern Fourier analysis. Graduate Texts in Mathematics. 2nd ed. New York, Springer, 2009.Кротов В. Г. Дифференциальные свойства граничных функций из пространств Харди // Mathematische Nachrichten. 1986. Т. 126, № 1. С. 241–253.Krotov V. G. Differential properties of boundary functions of Hardy spaces. Mathematische Nachrichten, 1986, vol. 126, no. 1, pp. 241–253 (in Russian).Стельмах Е. И. Прямая и обратная теоремы рациональной аппроксимации для пространств Харди в полуплоскости // Докл. НАН Беларуси. 2008. Т. 52, № 6. С. 36–41.Stelmakh A. I. Direct and inverse theorems of rational approximation for Hardy spaces in the half-plane. Doklady of the National Academy of Sciences of Belarus, 2008, vol. 52, no. 6, pp. 36–41 (in Russian).Мардвилко Т. С., Пекарский А. А. Применение действительного пространства Харди– Соболева на прямой для исследования скорости равномерных рациональных приближений функций // Журнал Белорусского государственного университета. Математика. Информатика. 2022. № 3. С. 16–36.Mardvilko T. S., Pekarskii A. A. Application of the real Hardy–Sobolev space on the line to study the order of uniform rational approximations of functions. Journal of the Belarusian State University. Mathematics and Informatics, 2022, no. 3, pp. 16–36 (in Russian).Пекарский А. А. Оценки производных рациональных функций в Lp[−1, 1] // Математические заметки. 1986. Т. 39, № 3. С. 388–394.Pekarskii A. A. Estimates of the derivatives of rational functions in Lp[−1, 1]. Math. Notes, 1986, vol. 39, no. 3, pp. 388–394 (in Russian).Lorentz G. G., Golitschek M. V., Makovoz Y. Constructive Approximation. Advanced Problems. New York, Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag, 1996.Lorentz G. G., Golitschek M. V., Makovoz Y. Constructive Approximation. Advanced Problems. New York, Berlin, Heidelberg, Springer-Verlag, 1996.Phillips G. M. Error estimates for best polynomial approximation // Approximation theory. London: Academic Press, 1979. P. 1–6.Phillips G. M. Error estimates for best polynomial approximation. Approximation theory. London, Academic Press, 1979, pp. 1–6.DeVore R. A., Lorentz G. G. Constructive Approximation: polinomials and splines approximation. New York, Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag, 1993.DeVore R. A., Lorentz G. G. Constructive Approximation: polinomials and splines approximation. New York, Berlin, Heidelberg, Springer-Verlag, 1993.Стечкин С. Б. О порядке наилучших приближений непрерывных функций // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1951. Т. 15, № 3. С. 219–242.Stechkin S. B. On the order of the best approximations of continuous functions. Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat., 1951, vol. 15, no. 3, pp. 219–242 (in Russian).King F. W. Hilbert transform. Volume 1. Cambridge: University Press, 2009.King F .W. Hilbert transform. Volume 1. Cambridge, University Press, 2009.Petrushev P. P., Popov V. A. Rational approximation of real functions. Cambridge: University Press, 1987.Petrushev P. P., Popov V. A. Rational approximation of real functions. Cambridge, University Press, 1987.Пекарский А. А. Рациональная аппроксимация сингулярных функций // Изв. АН БССР, Сер. физ.-мат. наук. 1980. № 3. С. 32–40.Pekarskii A. A. Rational approximation of singular functions. Izv. NAS BSSR. Ser. fiz.-mat. navuk, 1980, no. 3, pp. 32–40 (in Russian).

The authors declare that there are no conflicts of interest present.