mathnasТруды Института математики НАН БеларусиProceedings of the Institute of Mathematics of the NAS of Belarus1812-5093Институт математики НАН Беларусиmathnas-4Research ArticleАЛГЕБРА И ТЕОРИЯ ЧИСЕЛALGEBRA AND NUMBER THEORYОбобщение леммы Гельфонда о малых значениях целочисленных полиномов на многомерный случайGeneralization of Gelfond’s lemma on small values of integer polynomials to the multidimensional caseКалошаН. И.KaloshaN. I.

Минск

Minsk

kalosha@im.bas-net.byПантелееваЖ. И.PanteleevaZh. I.

Минск

Minsk

janna-85@list.ruИнститут математики НАН БеларусиInstitute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Belarus2024290920243211016Copyright © Калоша Н.И., Пантелеева Ж.И., 20242024Калоша Н.И., Пантелеева Ж.И.Kalosha N.I., Panteleeva Z.I.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://mathnas.ejournal.by/jour/article/view/4

   В работе установлена связь между значениями двух целочисленных полиномов без общих корней на непересекающихся интервалах фиксированной длины с основными характеристиками полиномов – степенью и высотой. Доказанную теорему можно рассматривать как двумерное обобщение леммы Гельфонда из теории трансцендентных чисел. Теорема может быть использована при оценке сверху размерности Хаусдорфа множества векторов, которые покоординатно, с заданным порядком, приближаются сопряженными алгебраическими числами.

   The paper establishes a relationship between the values of two integer polynomials without common roots on disjoint intervals of fixed length with the main characteristics of the polynomials – degree and height. The proved theorem can be considered as a two-dimensional generalization of Gelfond’s lemma from the theory of transcendental numbers. The theorem can be used to estimate from above the Hausdorff dimension of a set of vectors that are approximated by conjugate algebraic numbers in a given order.

диофантовы приближениямногочлен с целыми коэффициентамиалгебраические числатеорема Дирихлеприводимые полиномыdiophantine approximationintegral polynomialalgebraic numbersDirichlet’s theoremreducible polynomialsReferencesDirichlet L. G. P. Verallgemeinerung eines Satzes aus der Lehre von den Kettenbr¨uchen nebst einigen Anwendungen auf die Theorie der Zahlen // Werke I. 1842. P. 633–638.Dirichlet L. G. P. Verallgemeinerung eines Satzes aus der Lehre von den Kettenbr¨uchen nebst einigen Anwendungen auf die Theorie der Zahlen. Werke I, 1842, pp. 633–638.Khintchine A. Einige S¨atze ¨uber Kettenbr¨uche, mit Anwendungen auf die Theorie der Diophantischen Approximationen // Mathematische Annalen. 1924. Vol. 92. P. 115–125.Khintchine A. Einige S¨atze ¨uber Kettenbr¨uche, mit Anwendungen auf die Theorie der Diophantischen Approximationen. Mathematische Annalen, 1924, vol. 92, pp. 115–125.Mahler K. ¨Uber das Maß der Menge aller S-Zahlen // Math. Ann. 1932. Vol. 106. P. 131–139.Mahler K. ¨Uber das Maß der Menge aller S-Zahlen. Math. Ann., 1932, vol. 106, pp. 131–139.Спринджук В. Г. О гипотезе Малера // ДАН СССР. 1964. Т. 154, № 4. С. 783–786.Sprindˇzuk V. G. On a Conjecture of Mahler. Soviet Math., 1964, vol. 1, pp. 183–187.Спринджук В. Г. Доказательство гипотезы Малера о мере множества S-чисел // Изв. АН СССР, сер. мат. 1965. Т. 29, № 2. С. 379–436.Sprindˇzuk V. G. A Proof of Mahler’s Conjecture on the Measure of the Set of S-numbers. Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat., 1965, vol. 29, pp. 379–436 (in Russian).Спринджук В. Г. Проблема Малера в метрической теории чисел. Минск: Наука и техника,Sprindˇzuk V. G. Mahler’s Problem in Metric Number Theory. Providence, R.I.: American Mathematical Society, 1969, 204 p.– 181 с.Bernik V. I. On the Exact Order of Approximating Zero by Values of Integral Polynomials. Acta Arith., 1989, vol. 53, no. 1, pp. 17–28 (in Russian).Bernik V. I. The exact order of approximating zero by values of integral polynomials // Acta Arith. 1989. Vol. 53, N 1. P. 17–28.Beresnevich V. V. On Approximation of Real Numbers by Real Algebraic Numbers. Acta Arith., 1999, vol. 50, no. 2, pp. 97–112.Beresnevich V. V. On approximation of real numbers by real algebraic numbers // Acta Arith. 1999. Vol. 50, N 2. P. 97–112.Ptashnik B. I. Ill-posed Boundary-value Problems for Partial Differential Equations. Kyiv, Naukova Dumka, 1984, 264 p. (in Russian).Пташник Б. И. Некорректные граничные задачи для дифференциальных уравнений с частными производными. Киев: Наукова думка, 1984. 264 c.Arnold, V. I. Small Denominators and Problems of Stability of Motion in Classical and Celestial Mechanics. Russian Mathematical Surveys, 1963, vol. 18, issue 6, pp. 85–191.Арнольд В. И. Малые знаменатели и проблемы устойчивости движения в классической и небесной механике // Успехи математических наук. 1963. Т. 18, № 6(114). С. 91–192.Beresnevich V., Velani S. Number Theory Meets Wireless Communications: An Introduction for Dummies Like Us. Beresnevich, V., Burr, A., Nazer, B., Velani, S. Number Theory Meets Wireless Communications. Springer, 2020, pp. 1–67. doi: 10.1007/978-3-030-61303-7Beresnevich V., Velani S. Number theory meets wireless communications: an introduction for dummies like us // Beresnevich V., Burr A., Nazer B., Velani S. Number Theory Meets Wireless Communications. Springer, 2020. p. 1–67 doi: 10.1007/978-3-030-61303-7Hausdorff F. Die M¨achtigkeit der Borelschen Mengen. Mathematische Annalen, 1916, vol. 77, no. 3, pp. 430–437.Hausdorff F. Die M¨achtigkeit der Borelschen Mengen // Mathematische Annalen. 1916. Vol. 77, N 3. P. 430–437.Baker A., Schmidt W. M. Diophantine Approximation and Hausdorff dimension. Proceedings of the London Mathematical Society, 1970, no. 21, pp. 1–11.Baker A., Schmidt W. M. Diophantine approximation and Hausdorff dimension // Proceedings of the London Mathematical Society. 1970. N 21. P. 1–11.Bernik V. I. Use of Hausdorff Dimension in the Theory of Diophantine Approximations. Acta Arith., 1983, vol. 42, no. 3, pp. 219–253 (in Russian).Берник В. И. Применение размерности Хаусдорфа в теории диофантовых приближений // Acta Arith. 1983. Т. 42, № 3. С. 219–253.Gelfond A. O. Transcendental and Algebraic Numbers. New York, Dover Publications Inc., 1960, 190 p.Гельфонд А. О. Трансцендентные и алгебраические числа. М.: Гостехиздат, 1952. 224 c.Bernik V. I., Kalosha N. I. Approximation of zero by values of integer polynomials in the space R×C×Qp. Proceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics Series, 2004, no. 1, pp. 121–123 (in Russian).Берник В. И., Калоша Н. И. Приближение нуля значениями целочисленных полиномов в пространстве R×C×Qp // Вес. Нац. акад. навук Беларусi. Сер. фiз.-мат. навук. 2004. № 1. С. 121–123.Bernik V. I., Vasilyev D. V., Kalosha N. I., Panteleeva Zh. I. Metric Theory of Diophantine Approximation and Asymptotic Estimates for the Number of Polynomials with Given Discriminants Divisible by a Large Power of a Prime Number. Doklady of the National Academy of Sciences of Belarus, 2023, vol. 67, no. 4, pp. 271–278 (in Russian). doi: 10.29235/1561-8323-2023-67-4-271-278Берник В. И., Васильев Д. В., Калоша Н. И, Пантелеева Ж. И. Метрическая теория диофантовых приближений и асимптотические оценки для количества многочленов с заданными дискриминантами, делящимися на большую степень простого числа // Докл. Нац. акад. наук Беларуси. 2023. Т. 67, № 4. С. 271–278.Bernik V. I. A Metric Theorem on the Simultaneous Approximation of a Zero by the Values Of Integral Polynomials. Mathematics of the USSR–Izvestiya, 1981, vol. 16, no. 1, pp. 21–40.Берник В. И. Метрическая теорема о совместном приближении нуля значениями целочисленных многочленов // Изв. АН СССР, сер. физ.-мат. 1980. Т. 44, № 1. С. 24–45.Budarina N., Bernik V. I., Dickinson D. A Divergent Khintchine Theorem in the Real, Complex and p-adic Fields. Lithuanian Mathematical Journal, 2008, vol. 48, no. 2, pp. 1–16. doi: 10.1007/s10986-008-9005-9Budarina N., Bernik V. I., Dickinson D. A divergent Khintchine Theorem in the real, complex and p-adic fields // Lithuanian Mathematical Journal. 2008. Vol. 48, N 2. P. 1–16. doi: 10.1007/s10986-008-9005-9Budarina N., Dickinson D. Diophantine Approximation on Non-Degenerate Curves with Non-Monotonic Error Function. Bulletin London Math. Soc., 2009, vol. 41, no. 1, pp. 137–146. doi: 10.1112/blms/bdn116Budarina N., Dickinson D. Diophantine approximation on non degenerate curves with non monotonic error function // Bulletin London Math. Soc. 2009. Vol. 41, N 1. P. 137–146. doi: 10.1112/blms/bdn116Budarina N., Bernik V. I., Dickinson D. Simultaneous Diophantine Approximation in the Real,Budarina N., Bernik V. I., Dickinson D. Simultaneous Diophantine approximation in the real, complex and p-adic fields // Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 2010. Vol. 149, N 2. P. 193–216. doi: 10.1017/S0305004110000162Complex and p-adic Fields. Math. Proc. Cambridge Philos. Soc., 2010, vol. 149, no. 2, pp. 193–216. doi: 10.1017/S0305004110000162Budarina N., Dickinson D. Simultaneous Diophantine Approximation in two metrics and the distance between conjugate algebraic numbers in C×Qp // Indagationes Mathematicae. 2012. Vol. 23. P. 32–41. doi: 10.1016/j.indag.2011.09.012Budarina N., Dickinson D. Simultaneous Diophantine Approximation in Two Metrics and the Distance between Conjugate Algebraic Numbers in C × Qp. Indagationes Mathematicae, 2012, vol. 23, pp. 32–41. doi: 10.1016/j.indag.2011.09.012Beresnevich V., Bernik V., Budarina N. Systems of small linear forms and diophantine approximation on manifolds // arXiv preprint arXiv:1707. 00371. 2017. Available at: https://arxiv.org/abs/1707.00371Beresnevich V., Bernik V., Budarina N. Systems of Small Linear Forms and Diophantine Approximation on Manifolds. 2017. [Electronic resource]. Available at: https://arxiv.org/abs/1707.00371 (accessed 16. 07. 2024).

The authors declare that there are no conflicts of interest present.