mathnasТруды Института математики НАН БеларусиProceedings of the Institute of Mathematics of the NAS of Belarus1812-5093Институт математики НАН Беларусиmathnas-32Research ArticleСтатьиОтделимость решетки τ-замкнутых тотально ω-композиционных формаций конечных группSeparability of the lattice of τ-closed totally ω-composition formations of finite groupsЛосьИ. П.LosI. P.innalos.los1@gmail.comСафоновВ. Г.SafonovV. G.vgsafonov@im.bas-net.byИнститут математики НАН БеларусиBelarus2023241120243124456Copyright © Лось И.П., Сафонов В.Г., 20242024Лось И.П., Сафонов В.Г.Los I.P., Safonov V.G.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://mathnas.ejournal.by/jour/article/view/32

Пусть $\mathfrak{X}$ – некоторый непустой класс конечных групп. Полную решетку формаций $\theta$ называют $\mathfrak{X}$-отделимой, если для любого терма $\eta(x_1, \ldots , x_n)$ сигнатуры $\{\cap,\vee_{\theta}\}$, любых $\theta$-формаций $\mathfrak{F}_1, \ldots , \mathfrak{F}_n$ и любой группы $A\in \mathfrak{X}\cap \eta(\mathfrak{F}_1, \ldots , \mathfrak{F}_n)$ найдутся такие $\mathfrak{X}$-группы $A_1\in \mathfrak{F}_1, \ldots , A_n\in \mathfrak{F}_n$, что $A\in \eta(\theta\textup{form}(A_1), \ldots , \theta\textup{form}(A_n))$. Доказано, что решетка всех $\tau$-замкнутых тотально ω‑композиционных формаций $\mathfrak{G}$-отделима, где $\tau$ – подгрупповой функтор в смысле А. Н. Скибы, $\mathfrak{G}$ – класс всех конечных групп.

Let $\mathfrak{X}$ be a non-empty class of finite groups. A complete lattice $\theta$ of formations is said $\mathfrak{X}$-separable if for every term $\eta(x_1, \ldots , x_n)$ of signature $\{\cap, \vee_{\theta}\}$, $\theta$-formations $\mathfrak{F}_1, \ldots , \mathfrak{F}_n$, and every group $A\in \mathfrak{X}\cap \eta(\mathfrak{F}_1, \ldots , \mathfrak{F}_n)$ are exists $\mathfrak{X}$-groups $A_1\in\mathfrak{F}_1, \ldots , A_n\in\mathfrak{F}_n$ such that $A\in\eta(\theta\textup{form}(A_1), \ldots , \theta\textup{form}(A_n))$. In particular, if $\mathfrak{X}=\mathfrak{G}$ is the class of all finite groups then the lattice $\theta$ of formations is said $\mathfrak{G}$-separable or, briefly, separable. It is proved that the lattice $c^{\tau}_{\omega_\infty}$ of all $\tau$-closed totally $\omega$-composition formations is $\mathfrak{G}$-separable.

ReferencesШеметков Л. А., Скиба А. Н. Формации алгебраических систем. М.: Наука, 1989.Шеметков Л. А., Скиба А. Н. Формации алгебраических систем. М.: Наука, 1989.Скиба А. Н., Алгебра формаций. Минск: Беларуская навука, 1997.Скиба А. Н., Алгебра формаций. Минск: Беларуская навука, 1997.Скиба А. Н., Шеметков Л. А. Кратно L-композиционные формации конечных групп // Украинский мат. журн. 2000. Т. 52, № 6. С. 783–797.Скиба А. Н., Шеметков Л. А. Кратно L-композиционные формации конечных групп // Украинский мат. журн. 2000. Т. 52, № 6. С. 783–797.Селькин В. М. Однопорожденные формации. Гомель: ГГУ им. Ф. Скорины, 2011.Селькин В. М. Однопорожденные формации. Гомель: ГГУ им. Ф. Скорины, 2011.Воробьев Н. Н. Алгебра классов конечных групп. Витебск: ВГУ им. П. М. Машерова, 2012.Воробьев Н. Н. Алгебра классов конечных групп. Витебск: ВГУ им. П. М. Машерова, 2012.Сафонов В. Г. G-отделимость решетки τ-замкнутых тотально насыщенных формаций // Алгебра и логика. 2010. Т. 49, № 5. С. 692–704.Сафонов В. Г. G-отделимость решетки τ-замкнутых тотально насыщенных формаций // Алгебра и логика. 2010. Т. 49, № 5. С. 692–704.Shemetkov L. A., Skiba A. N., Vorob’ev N. N. On laws of lattices of partially saturated formations // Asian-European Journal of Mathematics. 2009. Vol. 2, N 1. P. 155–16Shemetkov L. A., Skiba A. N., Vorob’ev N. N. On laws of lattices of partially saturated formations // Asian-European Journal of Mathematics. 2009. Vol. 2, N 1. P. 155–16Сафонов В. Г., Сафонова И. Н. Отделимость решетки τ-замкнутых тотально ω-насыщенных формаций конечных групп // Проблемы физики, математики и техники. 2017. № 4(33). С. 76–83.Сафонов В. Г., Сафонова И. Н. Отделимость решетки τ-замкнутых тотально ω-насыщенных формаций конечных групп // Проблемы физики, математики и техники. 2017. № 4(33). С. 76–83.Tsarev A. A. Inductive lattices of totally composition formations // Revista Colombiana de Matematicas. 2018. Vol. 52, N 2. P. 161–169.Tsarev A. A. Inductive lattices of totally composition formations // Revista Colombiana de Matematicas. 2018. Vol. 52, N 2. P. 161–169.Tsarev A. A. On the lattice of all totally composition formations of finite groups // Ricerche di Matematica. 2019. Vol. 68, N 2. P. 693–698.Tsarev A. A. On the lattice of all totally composition formations of finite groups // Ricerche di Matematica. 2019. Vol. 68, N 2. P. 693–698.Los I. P., Safonov V. G. Separability of the lattice of τ-closed totally ω-composition formations of finite groups // The XII International Algebraic Conference in Ukraine dedicated to the 215th anniversary of V. Bunyakovsky. July 02–06, 2019. Vinnytsia, Ukraine, 2019. P. 64–65.Los I. P., Safonov V. G. Separability of the lattice of τ-closed totally ω-composition formations of finite groups // The XII International Algebraic Conference in Ukraine dedicated to the 215th anniversary of V. Bunyakovsky. July 02–06, 2019. Vinnytsia, Ukraine, 2019. P. 64–65.Лось И. П., Сафонов В. Г. τ-Замкнутые тотально ω-композиционные формации конечных групп с булевыми подрешетками // Тр. Мат. центра им. Н. И. Лобачевского. Казань: Изд-во Академии наук РТ, 2021. Т. 60: Материалы Междунар. конф. по алгебре, анализу и геометрии. С. 92–94.Лось И. П., Сафонов В. Г. τ-Замкнутые тотально ω-композиционные формации конечных групп с булевыми подрешетками // Тр. Мат. центра им. Н. И. Лобачевского. Казань: Изд-во Академии наук РТ, 2021. Т. 60: Материалы Междунар. конф. по алгебре, анализу и геометрии. С. 92–94.Лось И. П., Сафонов В. Г. Об однопорожденных и ограниченных тотально ω-композиционных формациях конечных групп // Проблемы физики, математики и техники. 2021. № 4(49). С. 101–107.Лось И. П., Сафонов В. Г. Об однопорожденных и ограниченных тотально ω-композиционных формациях конечных групп // Проблемы физики, математики и техники. 2021. № 4(49). С. 101–107.Щербина В. В. О двух задачах теории частично тотально композиционных формаций конечных групп // Прикладная математика и Физика. 2020. Т. 52, № 1. С. 18–32.Щербина В. В. О двух задачах теории частично тотально композиционных формаций конечных групп // Прикладная математика и Физика. 2020. Т. 52, № 1. С. 18–32.Щербина В. В. Частично композиционные формации с заданной структурой. I // Прикладная математика и Физика. 2021. Т. 53, № 3. С. 171–204.Щербина В. В. Частично композиционные формации с заданной структурой. I // Прикладная математика и Физика. 2021. Т. 53, № 3. С. 171–204.Сафонов В. Г. Характеризация разрешимых однопорожденных тотально насыщенных формаций конечных групп // Сиб. мат. журн. 2007. Т. 48, № 1. С. 185–191.Сафонов В. Г. Характеризация разрешимых однопорожденных тотально насыщенных формаций конечных групп // Сиб. мат. журн. 2007. Т. 48, № 1. С. 185–191.Doerk K., Hawkes T. Finite Soluble Groups. Berlin, New York: Walter de Gruyter, 1992.Doerk K., Hawkes T. Finite Soluble Groups. Berlin, New York: Walter de Gruyter, 1992.Ballester-Bolinches A., Ezquerro L. M. Classes of Finite Groups. Dordrecht: Springer, 2006.Ballester-Bolinches A., Ezquerro L. M. Classes of Finite Groups. Dordrecht: Springer, 2006.Shemetkov L. A. Frattini extensions of finite groups and formations // Comm. Algebra. 1997. Vol. 25, N 3. P. 955–964.Shemetkov L. A. Frattini extensions of finite groups and formations // Comm. Algebra. 1997. Vol. 25, N 3. P. 955–964.Шеметков Л. А. Локальные задания формаций конечных групп // Фундаментальная и прикладная математика. 2010. Т. 16, № 8. С. 229–244.Шеметков Л. А. Локальные задания формаций конечных групп // Фундаментальная и прикладная математика. 2010. Т. 16, № 8. С. 229–244.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.