mathnasТруды Института математики НАН БеларусиProceedings of the Institute of Mathematics of the NAS of Belarus1812-5093Институт математики НАН Беларусиmathnas-29Research ArticleСтатьиО топологиях экспоненты метризуемого топологического пространстваOn the topologies of a hyperspace of a metrizable topological spaceБедрицкийА. С.BedritskiyA. S.bedrickiAS@bsu.byТимоховичВ. Л.TimokhovichV. L.timvlaleo@gmail.comБелорусский государственный университетBelarus2023231120243121527Copyright © Бедрицкий А.С., Тимохович В.Л., 20242024Бедрицкий А.С., Тимохович В.Л.Bedritskiy A.S., Timokhovich V.L.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://mathnas.ejournal.by/jour/article/view/29

Изучаются свойства топологии $\tau_{inf}$, являющейся инфимумом множества всех топологий, порожденных метриками Хаусдорфа на экспоненте (гиперпространстве) $\exp X$ метризуемого топологического пространства $X$. В качестве основного результата получены необходимые и достаточные условия выполнения первой аксиомы счётности для $\tau_{inf}$, а также метризуемости (метрикой Хаусдорфа) этой топологии ("достижения" инфимума). Помимо этого, исследована связь $\tau_{inf}$ с другими топологиями на $\exp X$, а именно: с топологией Виеториса, топологией Фелла, локально конечной топологией.

The properties of the topology $\tau_{inf}$, which is the infimum of the set of all topologies generated by the Hausdorff metrics on the hyperspace $\exp X$ of a metrizable topological space $X$ are studied. As one of the main results necessary and sufficient conditions for the metrizability (with Hausdorff metric) of $\tau_{inf}$ are obtained. We also show that $\exp X$ with the topology $\tau_{inf}$ is first-countable space if and only if a space $X$ is locally compact and second-countable. Besides we investigate relations between $\tau_{inf}$ and other topologies on the $\exp X$: Vietoris topology, Fell topology and locally finite topology.

ReferencesHausdorff F. Grundzuge der Mengenlehre. Leipzig, 1914. ¨Hausdorff F. Grundzuge der Mengenlehre. Leipzig, 1914. ¨Vietoris L. Bereiche zweiter Ordnung // Monatshefte Math. Phys. 1923. Vol. 33. P. 49–62.Vietoris L. Bereiche zweiter Ordnung // Monatshefte Math. Phys. 1923. Vol. 33. P. 49–62.Michael E. A. Topologies on spaces of subsets // Trans. Amer. Math. Soc. 1951. Vol. 71. P. 152–182.Michael E. A. Topologies on spaces of subsets // Trans. Amer. Math. Soc. 1951. Vol. 71. P. 152–182.Fell J. M. A Hausdorff topology for the closed subsets of a locally compact non-Hausdorff space // Proc. Amer. Math. Soc. 1962. Vol. 13. P. 472–476.Fell J. M. A Hausdorff topology for the closed subsets of a locally compact non-Hausdorff space // Proc. Amer. Math. Soc. 1962. Vol. 13. P. 472–476.Beer G. A., Himmelberg C. J., Prikry K., van Vleck F. S. The locally finite topology on 2 X // Proc. Amer. Math. Soc. 1987. Vol. 101. P. 168–172.Beer G. A., Himmelberg C. J., Prikry K., van Vleck F. S. The locally finite topology on 2 X // Proc. Amer. Math. Soc. 1987. Vol. 101. P. 168–172.Costantini C., Vitolo P. On the infimum of the Hausdorff metric topologies // Proc. London Math. Soc. 1995. Vol. 70. P. 441–480.Costantini C., Vitolo P. On the infimum of the Hausdorff metric topologies // Proc. London Math. Soc. 1995. Vol. 70. P. 441–480.Пономарев В. И. Новое пространство замкнутых множеств и многозначные непрерывные отображения бикомпактов // Математический сб. 1959. Т. 48(90), № 2. С. 191–212.Пономарев В. И. Новое пространство замкнутых множеств и многозначные непрерывные отображения бикомпактов // Математический сб. 1959. Т. 48(90), № 2. С. 191–212.Beer G. Topologies on Closed and Closed Convex Sets. Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., 1993.Beer G. Topologies on Closed and Closed Convex Sets. Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., 1993.Naimpally S. A., Sharma P. L. Fine uniformity and the locally finite hyperspace topology // Proc. Amer. Math. Soc. 1988. Vol. 103. P. 611–646.Naimpally S. A., Sharma P. L. Fine uniformity and the locally finite hyperspace topology // Proc. Amer. Math. Soc. 1988. Vol. 103. P. 611–646.Энгелькинг Р. Общая топология. М.: Мир, 1986.Энгелькинг Р. Общая топология. М.: Мир, 1986.Atsuji M. Uniform continuity of continuous functions of metric spaces // Pacific J. Math. 1958. Vol. 8. P. 11–16.Atsuji M. Uniform continuity of continuous functions of metric spaces // Pacific J. Math. 1958. Vol. 8. P. 11–16.Beer G., Tamaki R. The infinite value functional and the uniformization of hit-and-miss hyperspace topologies // Proc. Amer. Math. Soc. 1994. Vol. 122. P. 601–611.Beer G., Tamaki R. The infinite value functional and the uniformization of hit-and-miss hyperspace topologies // Proc. Amer. Math. Soc. 1994. Vol. 122. P. 601–611.Hausdorff F. Erweiterung einer Homoomorphie // Eund. Math. 1930. Vol. 16. P. 353–360.Hausdorff F. Erweiterung einer Homoomorphie // Eund. Math. 1930. Vol. 16. P. 353–360.Александров П. С. Введение в теорию множеств и общую топологию. М.: Наука, 1977.Александров П. С. Введение в теорию множеств и общую топологию. М.: Наука, 1977.Тимохович В. Л., Фролова Д. С. О свойствах инфимальной топологии пространства отображений // Изв. вузов. Матем. 2016. № 4. С. 87–99.Тимохович В. Л., Фролова Д. С. О свойствах инфимальной топологии пространства отображений // Изв. вузов. Матем. 2016. № 4. С. 87–99.Тимохович В. Л., Фролова Д. С. Об инфимальной топологии пространства отображений // Вестн. БГУ. Сер. 1. 2011. № 2. С. 136–140.Тимохович В. Л., Фролова Д. С. Об инфимальной топологии пространства отображений // Вестн. БГУ. Сер. 1. 2011. № 2. С. 136–140.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.