mathnasТруды Института математики НАН БеларусиProceedings of the Institute of Mathematics of the NAS of Belarus1812-5093Институт математики НАН Беларусиmathnas-23Research ArticleСтатьиЗадача Пикара на плоскости для квазилинейного гиперболического уравнения второго порядкаPicard problem on the plane for a quasilinear hyperbolic equation of the second orderКорзюкВ. И.KorzyukV. I.Korzyuk@bsu.byКовнацкаяО. А.KovnatskayaO. A.Kovnatskaya@bsu.byБелорусский государственный университет; Институт математики НАН БеларусиBelarusian State University; Institute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Belarus2023231120243117080Copyright © Корзюк В.И., Ковнацкая О.А., 20242024Корзюк В.И., Ковнацкая О.А.Korzyuk V.I., Kovnatskaya O.A.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://mathnas.ejournal.by/jour/article/view/23

В данной работе получены классические решения задач для квазилинейного гиперболического уравнения второго порядка в случае двух независимых переменных с заданными для искомой функции условиями в сочетании как на характеристических линиях, так и на нехарактеристических линиях. Задачи сводятся к системе уравнений с вполне непрерывным оператором. Решения строятся методом последовательных приближений. Проводятся обоснования. Кроме того, показывается для каждой рассмотренной задачи и единственность полученного классического решения. Доказаны необходимые и достаточные условия согласования заданных функций в случае каждой из рассмотренных в статье задач, при выполнении которых классические решения их существуют при наличии определенной гладкости заданных функций.

Classical solutions of problems for a quasilinear hyperbolic equation of the second order in the case of two independent variables with given conditions for the desired function in combination both on characteristic lines and on non-characteristic lines are obtained in the paper. The problems are reduced to a system of equations with a completely continuous operator. Solutions are constructed using the method of successive approximations. In addition, for each problem considered, the uniqueness of the resulting classical solution is shown. Necessary and sufficient matching conditions of given functions are proved in the case of each of the problems considered in the paper, under which classical solutions exist in the presence of a certain smoothness of the given functions.

ReferencesКорзюк В. И. Уравнения математической физики. М.: Ленанд, 2021.Корзюк В. И. Уравнения математической физики. М.: Ленанд, 2021.Кошляков Н. С., Глинер Э. Б., Смирнов М. М. Уравнения в частных производных математической физики. М.: Высшая школа, 1970.Кошляков Н. С., Глинер Э. Б., Смирнов М. М. Уравнения в частных производных математической физики. М.: Высшая школа, 1970.Корзюк В. И., Ковнацкая О. А. Решения задач для волнового уравнения с условиями на характеристиках // Вес. Нац. акад. навук Беларусi. Сер. фiз.-мат. навук. 2021. Т. 57, № 2. С. 148–155.Корзюк В. И., Ковнацкая О. А. Решения задач для волнового уравнения с условиями на характеристиках // Вес. Нац. акад. навук Беларусi. Сер. фiз.-мат. навук. 2021. Т. 57, № 2. С. 148–155.Корзюк В. И., Ковнацкая О. А., Сериков В. П. Задачи для одномерного волнового уравнения с условиями на характеристиках и нехарактеристических линиях // Тр. Ин-та математики. 2021. Т. 29, № 1–2. С. 94–100.Корзюк В. И., Ковнацкая О. А., Сериков В. П. Задачи для одномерного волнового уравнения с условиями на характеристиках и нехарактеристических линиях // Тр. Ин-та математики. 2021. Т. 29, № 1–2. С. 94–100.Корзюк В. И., Ковнацкая О. А., Севастюк В. А. Задача Гурса на плоскости для квазилинейного гиперболического уравнения // Докл. Нац. акад. наук Беларуси. 2022. Т. 66, № 4. С. 391–396.Корзюк В. И., Ковнацкая О. А., Севастюк В. А. Задача Гурса на плоскости для квазилинейного гиперболического уравнения // Докл. Нац. акад. наук Беларуси. 2022. Т. 66, № 4. С. 391–396.Корзюк В. И., Столярчук И. И. Классическое решение первой смешанной задачи для гиперболического уравнения второго порядка в криволинейной полуполосе с переменными коэффициентами // Дифференц. уравнения. 2017. Т. 53, № 1. С. 77–88.Корзюк В. И., Столярчук И. И. Классическое решение первой смешанной задачи для гиперболического уравнения второго порядка в криволинейной полуполосе с переменными коэффициентами // Дифференц. уравнения. 2017. Т. 53, № 1. С. 77–88.Миронов А. Н. К методу Римана решения одной смешанной задачи // Вестн. Самар. гос. техн. ун-та. Сер. физ.-мат. науки. 2007. № 2. С. 27–32.Миронов А. Н. К методу Римана решения одной смешанной задачи // Вестн. Самар. гос. техн. ун-та. Сер. физ.-мат. науки. 2007. № 2. С. 27–32.Наумов О. Ю. Задача для уравнения колебания струны с производными по нормали на нехарактеристических частях границы треугольника и специальным условием сопряжения на характеристике // Научные доклады ежегодной межвузовской 55 Научной конференции СамГПУ. Самара, 2001. С. 58–61.Наумов О. Ю. Задача для уравнения колебания струны с производными по нормали на нехарактеристических частях границы треугольника и специальным условием сопряжения на характеристике // Научные доклады ежегодной межвузовской 55 Научной конференции СамГПУ. Самара, 2001. С. 58–61.Koeber M. Inclusion of solutions of initial value problems for quasilinear hyperbolic equations // Math. Res. 1995. Vol. 89. P. 132–137.Koeber M. Inclusion of solutions of initial value problems for quasilinear hyperbolic equations // Math. Res. 1995. Vol. 89. P. 132–137.Корзюк В. И., Козловская И. С. Классические решения задач для гиперболических уравнений: курс лекций: в 10 ч. Минск: БГУ, 2017–2023. Ч. 1–4.Корзюк В. И., Козловская И. С. Классические решения задач для гиперболических уравнений: курс лекций: в 10 ч. Минск: БГУ, 2017–2023. Ч. 1–4.Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: в 3 т. Санкт-Петербург: Лань, 2023. Т. 1–3.Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: в 3 т. Санкт-Петербург: Лань, 2023. Т. 1–3.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.