mathnasТруды Института математики НАН БеларусиProceedings of the Institute of Mathematics of the NAS of Belarus1812-5093Институт математики НАН Беларуси10.67268/1812-5093-2026-34-1s-172-186MFZAZMmathnas-195Research ArticleДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ И ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕDIFFERENTIAL EQUATIONS, DYNAMIC SYSTEMS AND OPTIMAL CONTROLК поточечной управляемости линейной стационарной сингулярно возмущенной системы с запаздываниемOn pointwise controllability of a linear time-invariant singularly perturbed system with delayЦеханО. Б.TsekhanO. B.

Гродно

Grodno

tsekhan@grsu.byГродненский государственный университет имени Янки КупалыБеларусьYanka Kupala State University of GrodnoBelarus202607112026341s172186Copyright © Цехан О.Б., 20262026Цехан О.Б.Tsekhan O.B.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://mathnas.ejournal.by/jour/article/view/195

Для линейной стационарной сингулярно возмущенной системы с запаздыванием в состоянии вводятся, сопоставляются и анализируются различные понятия поточечной управляемости, различающиеся зависимостью финального момента времени и управления от малого параметра, ограниченностью управления и точностью попадания в заданные точки. Установлена иерархия введенных понятий. Выявлена структура оператора поточечной управляемости, которая обосновывает связь между робастной и равномерной по малому параметру $\mu$ управляемостью. Доказаны достаточные декомпозиционные условия робастной поточечной управляемости, выраженные через матрицы управляемости медленной и быстрой подсистем. Теоретические результаты проиллюстрированы примерами.

 

Different notions of pointwise controllability are introduced, compared and analyzed for a linear time-invariant singularly perturbed system with state delay. These notions differ in the dependence of the terminal time and control on the small parameter, the boundedness of the control, and the accuracy of hitting prescribed points. A hierarchy of the introduced notions is established. The structure of the pointwise controllability operator is revealed, which justifies the relationship between robust and $\mu$-uniform controllability. Sufficient decomposition conditions for robust controllability, expressed in terms of the controllability matrices of the slow and fast subsystems, are proved. The theoretical results are illustrated by examples.

сингулярно возмущенные системысистемы с запаздываниемпоточечная управляемостьробастная управляемостьопределяющие уравнениядекомпозициямалый параметрsingularly perturbed systemstime-delay systemspointwise controllabilityrobust controllabilitydefining equationsdecompositionsmall parameterРабота поддержана Гродненским государственным университетом имени Янки Купалы в рамках программы «Конвергенция–2030».ReferencesКириллова Ф. М., Чуракова С. В. Относительная управляемость линейных динамических систем с запаздыванием // Доклады АН СССР. 1967. Т. 174, № 6. С. 1260–1263.Kirillova F. M., Churakova S. V. Relative controllability of linear dynamical systems with delay. Doklady Akademii Nauk SSSR, 1967, vol. 174, no. 6, pp. 1260–1263 (in Russian).Габасов Р., Кириллова Ф. М. Качественная теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1971. 507 с.Gabasov R., Kirillova F. M. Qualitative Theory of Optimal Processes. Moscow, Nauka Publ., 1971. 507 p. (in Russian).Минюк С. А. Две задачи управляемости для линейной системы с последействием // Вестник БГУ. Серия 1. 1972. № 1. С. 8–11.Minyuk S. A. Two controllability problems for a linear system with aftereffect. Vestnik BGU. Seriya 1, 1972, no. 1, pp. 8–11 (in Russian).Марченко В. М., Московска Б. П., Симеонова Ю. С. Поточечная управляемость систем с последействием // Дифференциальные уравнения. 1978. Т. 14, № 7. С. 1324–1327.Marchenko V. M., Moskovska B. P., Simeonova Yu. S. Pointwise controllability of systems with aftereffect. Differentsial’nye Uravneniya, 1978, vol. 14, no. 7, pp. 1324–1327 (in Russian).Марченко В. М. Модальное управление в системах с последействием // Автоматика и телемеханика. 1988. № 11. С. 73–84.Marchenko V. M. Modal control in systems with aftereffect. Avtomatika i Telemekhanika, 1988, no. 11, pp. 73–84 (in Russian).Kokotovic P. V., O’Malley R. E., Sannuti P. Singular perturbations and order reduction in control theory – an overview // Automatica. 1976. Vol. 12, N 2. P. 123–132.Kokotovic P. V., O’Malley R. E., Sannuti P. Singular perturbations and order reduction in control theory – an overview. Automatica, 1976, vol. 12, no. 2, pp. 123–132.Kokotovic´ P. V., Khalil H. K., O’Reilly J. Singular Perturbation Methods in Control: Analysis and Design. Philadelphia: SIAM, 1999. xv, 371 p. (Classics in Applied Mathematics; Vol. 25).Kokotovic´ P. V., Khalil H. K., O’Reilly J. Singular Perturbation Methods in Control: Analysis and Design. Philadelphia, SIAM, 1999. xv, 371 p. (Classics in Applied Mathematics; vol. 25).Дмитриев М. Г., Курина Г. А. Сингулярные возмущения в задачах управления // Автоматика и телемеханика. 2006. № 1. C. 3–51.Dmitriev M. G., Kurina G. A. Singular perturbations in control problems. Avtomatika i Telemekhanika, 2006, no. 1, pp. 3–51 (in Russian).Калинин А. И. Асимптотические методы оптимизации возмущенных динамических систем. Минск: Экоперспектива, 2000. 183 с.Kalinin A. I. Asymptotic Methods for Optimization of Perturbed Dynamical Systems. Minsk, Ekoperspektiva Publ., 2000, 183 p. (in Russian).Glizer V. Y. Controllability of singularly perturbed linear time delay systems. Cham: Birkha¨user, 2021. XII, 419 p. (Systems & Control: Foundations & Applications).Glizer V. Y. Controllability of Singularly Perturbed Linear Time Delay Systems. Cham, Birkha¨user, 2021. XII, 419 p. (Systems & Control: Foundations & Applications).Гайшун И. В., Горячкин В. В. Робастная и интервальная наблюдаемость двухпараметрических дискретных систем с интервальными коэффициентами // Весцi НАН Беларусi. Сер. фiз.-мат. навук. 2016. № 2. С. 6–9.Gaishun I. V., Goryachkin V. V. Robust and interval observability of two-parameter discrete systems with interval coefficients. Vestsi NAN Belarusi. Ser. Fiz.-Mat. Navuk, 2016, no. 2, pp. 6–9 (in Russian).Гайшун И. В. Введение в теорию линейных нестационарных систем. Мн.: Институт математики НАН Беларуси. 1999.Gaishun I. V. Introduction to the Theory of Linear Nonstationary Systems. Minsk, Institute of Mathematics of the NAS of Belarus Publ., 1999 (in Russian).Астровский А. И., Гайшун И. В. Линейные системы с квазидифференцируемыми коэффициентами: управляемость и наблюдаемость движений. Минск: Беларуская навука, 2013.Astrovskii A. I., Gaishun I. V. Linear Systems with Quasi-Differentiable Coefficients: Controllability and Observability of Motions. Minsk, Belaruskaya Navuka Publ., 2013 (in Russian).Копейкина Т. Б., Цехан О. Б. Об управляемости линейных нестационарных сингулярно возмущенных систем в пространстве состояний // Известия РАН. Техническая кибернетика. 1993. № 3. С. 40–46.Kopeikina T. B., Tsekhan O. B. On controllability of linear nonstationary singularly perturbed systems in the state space. Izvestiya RAN. Tekhnicheskaya Kibernetika, 1993, no. 3, pp. 40–46 (in Russian).Цехан О. Б. Условия поточечной управляемости и поточечной наблюдаемости линейных стационарных сингулярно возмущенных систем с запаздыванием // Труды Института математики. 2021. Т. 29, № 1–2. С. 138–148.Tsekhan O. B. Conditions of pointwise controllability and pointwise observability of linear time-invariant singularly perturbed systems with delay. Trudy Instituta Matematiki, 2021, vol. 29, no. 1–2, pp. 138–148 (in Russian).Tsekhan O. Approximation of the solution based on the decoupling transformation of linear time-varying singularly perturbed system with delay // Dynamic Control and Optimization (DCO 2021). Springer Proc. in Mathematics & Statistics. 2022. Vol. 407. P. 77–97.Tsekhan O. Approximation of the solution based on the decoupling transformation of linear time-varying singularly perturbed system with delay. Dynamic Control and Optimization (DCO 2021). Springer Proceedings in Mathematics & Statistics, 2022, vol. 407, pp. 77–97.Цехан О. Б. Асимптотическая аппроксимация решения одной линейной нестационарной сингулярно возмущенной системы с постоянным запаздыванием // Веснiк ГрДУ iмя Янкi Купалы. Сер. 2, Матэматыка. Фiзiка. Iнфарматыка, вылiчальная тэхнiка i кiраванне. 2024. Т. 14, № 1. С. 37–47.Tsekhan O. B. Asymptotic approximation of the solution of a linear nonstationary singularly perturbed system with constant delay. Vesnik GrDU imya Yanki Kupaly. Ser. 2, Matematyka. Fizika. Informatyka, Vylichalnaya Tekhnika i Kirawanne, 2024, vol. 14, no. 1, pp. 37–47 (in Russian).Цехан О. Б. Асимптотические аппроксимации решений одного класса линейных нестационарных сингулярно возмущенных систем управления с постоянным запаздыванием // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2025. Т. 35, № 4. С. 578–600.Tsekhan O. B. Asymptotic approximations of solutions of a class of linear nonstationary singularly perturbed control systems with constant delay. Vestnik Udmurtskogo Universiteta. Matematika. Mekhanika. Komp’yuternye Nauki, 2025, vol. 35, no. 4, pp. 578–600 (in Russian).Копейкина Т. Б. Об управляемости линейных сингулярно возмущенных систем с запаздыванием // Дифференциальные уравнения. 1989. Т. 25, № 9. С. 1508–1518.Kopeikina T. B. On controllability of linear singularly perturbed systems with delay. Differentsial’nye Uravneniya, 1989, vol. 25, no. 9, pp. 1508–1518 (in Russian).Цехан О. Б. Асимптотическая аппроксимация решений одного класса нестационарных сингулярно возмущенных систем с запаздыванием // Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений (AMADE 2024): Труды 11-го международного научного семинара. Минск: БГУ, 2024. С. 108–114.Tsekhan O. B. Asymptotic approximation of solutions of a class of nonstationary singularly perturbed systems with delay. Analytical Methods of Analysis and Differential Equations (AMADE 2024): Proceedings of the 11th International Scientific Seminar. Minsk, BGU Publ., 2024, pp. 108–114 (in Russian).

The authors declare that there are no conflicts of interest present.