mathnasТруды Института математики НАН БеларусиProceedings of the Institute of Mathematics of the NAS of Belarus1812-5093Институт математики НАН Беларуси10.67268/1812-5093-2026-34-1s-148-154GVUZFFmathnas-192Research ArticleДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ И ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕDIFFERENTIAL EQUATIONS, DYNAMIC SYSTEMS AND OPTIMAL CONTROLИзохроны систем с малым параметром, не зависящие от негоIsochrones of systems with a small parameter that are independent of itРуденокА. Е.RoudenokA. E.

Минск

Minsk

roudenok@bsu.byВасилевичМ. Н.VasilevichM. N.

Минск

Minsk

vasilevich.m@gmail.comБелорусский государственный университетБеларусьBelarusian State UniversityBelarus202607112026341s148154Copyright © Руденок А.Е., Василевич М.Н., 20262026Руденок А.Е., Василевич М.Н.Roudenok A.E., Vasilevich M.N.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://mathnas.ejournal.by/jour/article/view/192

Рассматривается автономная система на плоскости с параметром $\lambda $, обычно называемым малым, и особой точкой центр либо фокус в начале координат. Предполагается, что в этой особой точке система изохронная. Также предполагается, что ее изохроны, т.е. прообразы радиальных прямых при переходе от рассматриваемой системы к системе с равномерной изохронностью, не зависят от параметра $\lambda $. Таким образом, в настоящей статье параметр $\lambda $ может принимать любые действительные значения и, в этом смысле, не является малым.

Строятся системы с квадратичными нелинейностями в правой части, удовлетворяющие этим требованиям. Найдены изохроны этих систем. Строятся фазовые портреты полученных изохронных фокусов и их изохрон.

We consider an autonomous system on the plane involving a parameter $\lambda $, commonly referred to as a small parameter, and with a singular point (either a center or a focus) at the origin. It is assumed that the system is isochronous at this singular point. We also assume that its isochrones – defined as the pre-images of radial lines under the transformation from the system under consideration to a system with uniform isochronicity – are independent of the parameter $\lambda $. Thus, in this paper, the parameter $\lambda $ may take on any real value and, in that sense, is not actually small.

We construct systems with quadratic nonlinearities in the right-hand side that satisfy these requirements and determine their isochrones. Phase portraits of the resulting isochronous foci and their isochrones are also constructed.

система с малым параметромцентрфокусизохронностьизохронысистема с квадратичными нелинейностямиsystem with a small parametercenterfocusisochronicityisochronessystem with quadratic nonlinearitiesReferencesZoladek H. Quadratic systems with center and their perturbations // Differential Equations. 1994. Vol. 109. P. 223–273.Zoladek H. Quadratic systems with center and their perturbations. Differential Equations, 1994, vol. 109, pp. 223–273.Руденок А. Е., Василевич М. Н. Об изохронах грубого фокуса // Журнал Белорусского государственного университета. Математика. Информатика. 2025. № 2. С. 16–29.Rudenok A. E., Vasilevich M. N. On isochrones of a rough focus. Journal of the Belarusian State University. Mathematics. Informatics, 2025, no. 2, pp. 16–29 (in Russian).Руденок А. Е., Василевич М. Н. О сильной изохронности грубого фокуса // XIV Белорусская математическая конференция, посвященная 65-летию института математики НАН Беларуси: материалы Международной научной конференции, Минск, 28 октября – 1 ноября 2024 г.: в 3 ч. Минск: Беларуская навука, 2024. Ч. 2. С. 70–71.Rudenok A. E., Vasilevich M. N. On strong isochronicity of a rough focus. XIV Belarusian Mathematical Conference dedicated to the 65th anniversary of the Institute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Belarus: proceedings of the international scientific conference, Minsk, October 28 November 1, 2024. In three parts. Part 2. Minsk, Belaruskaya Navuka, 2024, pp. 70–71 (in Russian).Руденок А. Е., Василевич М. Н. О сильной изохронности негрубого фокуса // Математическое моделирование и дифференциальные уравнения: материалы V Международной научной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения чл.-кор. АН БССР Е. А. Иванова и доц. Н. И. Бриша. Минск, 17–19 декабря 2024 г. Минск: БГУ, 2025. C. 30–32.Rudenok A. E., Vasilevich M. N. On strong isochronicity of a non-rough focus. Mathematical Modeling and Differential Equations: proceedings of the V International Scientific Conference dedicated to the 100th anniversary of the birth of Corresponding Member of the Academy of Sciences of the BSSR A. Ivanov and Assoc. Prof. N. I. Brish. Minsk, December 17–19, 2024. Minsk, BSU, 2025, pp. 30–32 (in Russian).Василевич М. Н. О существовании трех сильно изохронных четвертого порядка центров // XXI Международная научная конференция по дифференциальным уравнениям (Еругинские чтения 2023): материалы Международной конференции, Могилев, 23–27 мая 2023 г. Могилев, 2023. Ч. 1. С. 71–73.Vasilevich M. N. On the existence of three strongly isochronous fourth-order centers. XXI International Scientific Conference on Differential Equations (Erugin Readings – 2023): Proceedings of the international conference. Mogilev, May 23–27, 2023. Part 1. Mogilev, 2023, pp. 71–73 (in Russian).Руденок А. Е. О предельных циклах, рождающихся из траекторий центра // XXII Международная научная конференция по дифференциальным уравнениям (Еругинские чтения – 2026): материалы Международной конференции, Гродно, 18–22 мая 2026 г. Гродно, 2026. Ч. 1. С. 77–79.Rudenok A. E. On limit cycles born from trajectories of a center. XXII International Scientific Conference on Differential Equations (Erugin Readings – 2026): Proceedings of the international conference. Grodno, May 18–22, 2026. Part 1. Grodno, 2026, pp. 77–79 (in Russian).Руденок А. Е., Василевич М. Н. Изохронные системы с нелинейностями третьей степени, изохроны которых не зависят от параметра, определяющего устойчивость особой точки // XXII Международная научная конференция по дифференциальным уравнениям (Еругинские чтения 2026): материалы Международной конференции, Гродно, 18–22 мая 2026 г. Гродно, 2026. Ч. 1. С. 79–81.Rudenok A. E., Vasilevich M. N. Isochronous systems with third-degree nonlinearities whose isochrones do not depend on the parameter determining the stability of the singular point. XXII International Scientific Conference on Differential Equations (Erugin Readings – 2026): Proceedings of the international conference. Grodno, May 18–22, 2026. Part 1. Grodno, 2026, pp. 79–81 (in Russian).

The authors declare that there are no conflicts of interest present.