mathnasТруды Института математики НАН БеларусиProceedings of the Institute of Mathematics of the NAS of Belarus1812-5093Институт математики НАН Беларуси10.67268/1812-5093-2026-34-1s-128-142EPOORTmathnas-190Research ArticleДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ И ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕDIFFERENTIAL EQUATIONS, DYNAMIC SYSTEMS AND OPTIMAL CONTROLАсимптотика решения задачи об управлении с минимальной интенсивностью линейной трехтемповой сингулярно возмущенной системойAsymptotics of solving control problem with minimum intensity of linear three-tempo singularly perturbed systemКалининА. И.KalininA. I.

Минск

Minsk

kalininai@bsu.byЛавриновичЛ И.LavrinovichL. I.

Минск

Minsk

lavrinovich@bsu.byБелорусский государственный университетБеларусьBelarusian State UniversityBelarus202607112026341s128142Copyright © Калинин А.И., Лавринович Л.И., 20262026Калинин А.И., Лавринович Л.И.Kalinin A.I., Lavrinovich L.I.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://mathnas.ejournal.by/jour/article/view/190

Рассматривается задача оптимизации переходного процесса в линейной сингулярно возмущенной системе с двумя группами быстрых переменных, которая состоит в нахождении многомерного управления с минимальной интенсивностью. Показано, что для построения приближенного (в асимптотическом смысле) решения этой задачи достаточно решить три невозмущенные задачи оптимального управления меньшей размерности.

The problem of optimizing the transient process in a linear singularly perturbed system with two groups of fast variables is considered, which consists in finding multidimensional control with minimal intensity. It is shown that to construct an approximate (in the asymptotic sense) solution to this problem, it is sufficient to solve three unperturbed optimal control problems of a smaller dimension.

малый параметрсингулярно возмущенная системаоптимальное управлениеасимптотические приближенияминимальная интенсивность управленияsmall parametersingularly perturbed systemoptimal controlasymptotic approximationsminimum control intensityReferencesДмитриев М. Г., Курина Г. А. Сингулярные возмущения в задачах управления // Автомат. и телемех. 2006. № 1. С. 3–51.Dmitriev M. G., Kurina G. A. Singular perturbations in control problems. Automation and Remote Control, 2006, vol. 67, no. 1, pp. 1–43.Калинин А. И. Асимптотика решений возмущенных задач оптимального управления // Изв. РАН. Техн. кибернетика. 1994. № 3. С. 104–114.Kalinin A. I. Asymptotics of solutions to perturbed optimal control problems. Journal of Computer and Systems Sciences International, 1994, vol. 33, no. 6, pp. 102–111.Zhang Y., Naidu D. S., Cai C., Zou Y. Singular perturbation and time scales in control theories and applications. An overview 2002–2012 // Int. J. Information and Systems Sciences. 2014. Vol. 9, N 1. P. 1–36.Zhang Y., Naidu D. S., Cai C., Zou Y. Singular perturbation and time scales in control theories and applications. An overview 2002–2012. International Journal of Information and Systems Sciences, 2014, vol. 9, no. 1, pp. 1–36.Kokotovic P. V., Khalil H. K. Singular Perturbations in Systems and Control. New York: IEEE Press, 1986.Kokotovic P. V., Khalil H. K. Singular Perturbations in Systems and Control. New York, IEEE Press, 1986.Курина Г. А., Калашникова М. А. Сингулярно возмущенные задачи с разнотемповыми быстрыми переменными // Автомат. и телемех. 2022. № 11. С. 3–61.Kurina G. A., Kalashnikova M. A. Singularly perturbed problems with multi-rate fast variables. Automation and Remote Control, 2022, vol. 83, no. 11, pp. 1651–1695.Красовский Н. Н. Теория управления движением. М.: Наука, 1968.Krasovskii N. N. Theory of Control of Motion. Moscow, Nauka Publ., 1968 (in Russian).Калинин А. И. Построение субоптимального решения сингулярно возмущенной задачи об управлении с минимальной интенсивностью // Автомат. и телемех. 2013. № 1. С. 47–58.Kalinin A. I. Construction of a suboptimal solution of a singularly perturbed minimum-intensity control problem. Automation and Remote Control, 2013, vol. 74, no. 1, pp. 38–48.Калинин А. И. Асимптотический метод решения квазилинейной задачи об управлении минимальной силой // Дифференциальные уравнения. 2012. Т. 48, № 3. С. 414–424.Kalinin A. I. Asymptotic method of solving a quasilinear minimum-force control problem. Differential Equations, 2012, vol. 48, no. 3, pp. 407–417.Васильева А. Б., Бутузов В. Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений. М.: Наука, 1973.Vasil’eva A. B., Butuzov V. F. Asymptotic Expansions of Solutions of Singularly Perturbed Equations. Moscow, Nauka Publ., 1973 (in Russian).Васильева А. Б. Асимптотические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений с малыми параметрами при старших производных // Журн. вычисл. математики и матем. физики. 1963. Т. 3, № 4. С. 611–642.Vasil’eva A. B. Asymptotic methods in the theory of ordinary differential equations with small parameters multiplying the highest derivatives. USSR Computational Mathematics and Mathematical Physics, 1963, vol. 3, no. 4, pp. 811–853.Carlson D. A., Haurie F. Infinite horizon optimal control // Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems. Vol. 290. Berlin: Springer-Verlag, 1987.Carlson D. A., Haurie F. Infinite Horizon Optimal Control. Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems, vol. 290, Berlin, Springer-Verlag, 1987.Понтрягин Л. С., Болтянский В. Г., Гамкрелидзе Р. В., Мищенко Е. Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1983.Pontryagin L. S., Boltyanskii V. G., Gamkrelidze R. V., Mishchenko E. F. The Mathematical Theory of Optimal Processes. New York, Pergamon Press, 1964.Габасов Р., Кириллова Ф. М. Конструктивные методы оптимизации. Минск: Университетское, 1984. Ч. 2.Gabasov R., Kirillova F. M. Constructive Methods of Optimization. Part 2. Minsk, Universitetskoe Publ., 1984 (in Russian).

The authors declare that there are no conflicts of interest present.