mathnasТруды Института математики НАН БеларусиProceedings of the Institute of Mathematics of the NAS of Belarus1812-5093Институт математики НАН Беларусиmathnas-19Research ArticleСтатьиОбратные задачи восстановления коэффициентов и источников переноса в нелинейных уравнениях теплопроводностиInverse problems of reconstruction of coefficients and transport sources in nonlinear heat conduction equationsБоруховВ. Т.BorukhovV. T.val01@tut.byЗаяцГ. М.ZayatsG. M.zayats@im.bas-net.byКостюковаО. И.KostyukovaO. I.kostyukova@im.bas-net.byИнститут математики НАН БеларусиInstitute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Belarus2023231120243113343Copyright © Борухов В.Т., Заяц Г.М., Костюкова О.И., 20242024Борухов В.Т., Заяц Г.М., Костюкова О.И.Borukhov V.T., Zayats G.M., Kostyukova O.I.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://mathnas.ejournal.by/jour/article/view/19

Обсуждаются методы функциональной идентификации, обратных динамических систем и поэтапной субоптимальной оптимизации для решения обратных задач восстановления коэффициентов, граничных условий и источников переноса в нелинейном уравнении теплопроводности.

We discuss methods of functional identification, inverse dynamical systems and stepwise suboptimal optimization for solving inverse problems of reconstruction of coefficients, boundary conditions and transport sources in the nonlinear heat conduction equation.

ReferencesТихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1979.Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1979.Леонов А. С. Решение некорректно поставленных обратных задач: Очерк теории, практические алгоритмы и демонстрации в МАТЛАБ. М.: Изд-во Либроком, 2016.Леонов А. С. Решение некорректно поставленных обратных задач: Очерк теории, практические алгоритмы и демонстрации в МАТЛАБ. М.: Изд-во Либроком, 2016.Самарский А. А., Вабищевич П. Н. Численные методы решения обратных задач математической физики. М.: Изд-во ЛКИ, 2009.Самарский А. А., Вабищевич П. Н. Численные методы решения обратных задач математической физики. М.: Изд-во ЛКИ, 2009.Лисковец О. А. Вариационные методы решения неустойчивых задач. Минск: Наука и техника, 1981.Лисковец О. А. Вариационные методы решения неустойчивых задач. Минск: Наука и техника, 1981.Калман Р. Е., Фалб П., Арбиб М. Очерки по математической теории систем / пер. с англ. М.: Едиториал УРСС, 2004.Калман Р. Е., Фалб П., Арбиб М. Очерки по математической теории систем / пер. с англ. М.: Едиториал УРСС, 2004.Бабичев А. В., Бутковский А. Г., Похьолайнен С. К единой геометрической теории управления. М.: Наука, 2001.Бабичев А. В., Бутковский А. Г., Похьолайнен С. К единой геометрической теории управления. М.: Наука, 2001.Борухов В. Т., Гайшун И. В., Тимошпольский В. И. Структурные свойства динамических систем и обратные задачи математической физики. Минск: Бел. наука, 2009.Борухов В. Т., Гайшун И. В., Тимошпольский В. И. Структурные свойства динамических систем и обратные задачи математической физики. Минск: Бел. наука, 2009.Алифанов О. М., Артюхин Е. А., Румянцев С. В. Экстремальные методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1988.Алифанов О. М., Артюхин Е. А., Румянцев С. В. Экстремальные методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1988.Ozisik M. N., Orlande H. R. B. Inverse Heat Transfer: Fundamentals and Applications. Routledge, 2018.Ozisik M. N., Orlande H. R. B. Inverse Heat Transfer: Fundamentals and Applications. Routledge, 2018.Мацевитый Ю. М., Бут Е. Н. Сплайн-идентификация теплофизических процессов. Киев: Наукова думка, 2010.Мацевитый Ю. М., Бут Е. Н. Сплайн-идентификация теплофизических процессов. Киев: Наукова думка, 2010.Борухов В. Т., Тимошпольский В. И. Функциональная идентификация градиентными методами нелинейного коэффициента теплопроводности. I. Сопряженные операторы // ИФЖ. 2005. Т. 78, № 4. С. 68–74.Борухов В. Т., Тимошпольский В. И. Функциональная идентификация градиентными методами нелинейного коэффициента теплопроводности. I. Сопряженные операторы // ИФЖ. 2005. Т. 78, № 4. С. 68–74.Борухов В. Т., Тимошпольский В. И., Заяц Г. М., Цурко В. А. Функциональная идентификация градиентными методами нелинейного коэффициента теплопроводности. II. Численное моделирование // ИФЖ. 2005. Т. 78, № 4. С. 75–81.Борухов В. Т., Тимошпольский В. И., Заяц Г. М., Цурко В. А. Функциональная идентификация градиентными методами нелинейного коэффициента теплопроводности. II. Численное моделирование // ИФЖ. 2005. Т. 78, № 4. С. 75–81.Борухов В. Т., Тимошпольский В. И., Герман М. Л., Заяц Г. М., Цурко В. А. Восстановление нелинейных коэффициентов теплопроводности методом функциональной идентификации // Тр. междунар. конф. «Проблемы управления и приложения (техника, производство, экономика)». Минск, 2005. Т. 1: Управление и оптимизация. С. 120–127.Борухов В. Т., Тимошпольский В. И., Герман М. Л., Заяц Г. М., Цурко В. А. Восстановление нелинейных коэффициентов теплопроводности методом функциональной идентификации // Тр. междунар. конф. «Проблемы управления и приложения (техника, производство, экономика)». Минск, 2005. Т. 1: Управление и оптимизация. С. 120–127.Борухов В. Т., Тимошпольский В. И., Заяц Г. М., Калиневич Е. В., Цурко В. А. Определение нелинейного коэффициента теплопроводности для изделий трубчатой формы методом функциональной идентификации // ИФЖ. 2006. Т. 79, № 6. С. 23–30.Борухов В. Т., Тимошпольский В. И., Заяц Г. М., Калиневич Е. В., Цурко В. А. Определение нелинейного коэффициента теплопроводности для изделий трубчатой формы методом функциональной идентификации // ИФЖ. 2006. Т. 79, № 6. С. 23–30.Борухов В. Т., Заяц Г. М., Цурко В. А. Применение метода функциональной идентификации для решения обратной задачи теплопроводности в условиях неединственности // Тр. 4-й междунар. конф. «Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений» (AMADE-2006). Минск, 2006. Т. 2. С. 32–37.Борухов В. Т., Заяц Г. М., Цурко В. А. Применение метода функциональной идентификации для решения обратной задачи теплопроводности в условиях неединственности // Тр. 4-й междунар. конф. «Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений» (AMADE-2006). Минск, 2006. Т. 2. С. 32–37.Борухов В. Т., Заяц Г. М., Цурко В. А. Идентификация коэффициента теплопроводности в нелинейном параболическом уравнении с возмущенными входными данными // Информатика. 2008. № 4. С. 29–38.Борухов В. Т., Заяц Г. М., Цурко В. А. Идентификация коэффициента теплопроводности в нелинейном параболическом уравнении с возмущенными входными данными // Информатика. 2008. № 4. С. 29–38.Borukhov V. T., Tsurko V. A., Zayats G. M. The functional identification approach for numerical reconstruction of the temperature-dependent thermal-conductivity coefficient // Int. J. Heat and Mass Transfer. 2009. Vol. 52. P. 232–238.Borukhov V. T., Tsurko V. A., Zayats G. M. The functional identification approach for numerical reconstruction of the temperature-dependent thermal-conductivity coefficient // Int. J. Heat and Mass Transfer. 2009. Vol. 52. P. 232–238.Мацевитый Ю. М., Алехина С. В., Борухов В. Т., Заяц Г. М., Костиков А. О. Идентификация коэффициента теплопроводности для квазистационарных уравнений теплопроводности // ИФЖ. 2017. Т. 90, № 6. С. 1364–1370.Мацевитый Ю. М., Алехина С. В., Борухов В. Т., Заяц Г. М., Костиков А. О. Идентификация коэффициента теплопроводности для квазистационарных уравнений теплопроводности // ИФЖ. 2017. Т. 90, № 6. С. 1364–1370.Borukhov V. T., Zayats G. M. The inverse problem of heat conduction in the case of nonuniqueness: a functional identification approach. Available at SSRN: https://ssrn.com/abstract=4060732 or http://dx.doi.org/10.2139/ssrn.4060732Borukhov V. T., Zayats G. M. The inverse problem of heat conduction in the case of nonuniqueness: a functional identification approach. Available at SSRN: https://ssrn.com/abstract=4060732 or http://dx.doi.org/10.2139/ssrn.4060732Evtushenko Yu. G., Zubov V. I. Generalized fast automatic differentiation technique // J. Comput. Math. Math. Phys. 2016. Vol. 56 (11). P. 1819–1833.Evtushenko Yu. G., Zubov V. I. Generalized fast automatic differentiation technique // J. Comput. Math. Math. Phys. 2016. Vol. 56 (11). P. 1819–1833.Zubov V. I. Application of fast automatic differentiation for solving the inverse coefficient problem for the heat equation // J. Comput. Math. Math. Phys. 2016. Vol. 56 (10). P. 1743–1757.Zubov V. I. Application of fast automatic differentiation for solving the inverse coefficient problem for the heat equation // J. Comput. Math. Math. Phys. 2016. Vol. 56 (10). P. 1743–1757.Albu A. F., Evtushenko Y. G., Zubov V. I. Use of second-order optimization methods for solving the inverse coefficient problem in the three-dimensional formulation // Proc. of IMM Ural Branch of the Russian Academy of Sciences. 2021. Vol. 27 (4). P. 19–34.Albu A. F., Evtushenko Y. G., Zubov V. I. Use of second-order optimization methods for solving the inverse coefficient problem in the three-dimensional formulation // Proc. of IMM Ural Branch of the Russian Academy of Sciences. 2021. Vol. 27 (4). P. 19–34.Silverman L. M. Inversion of multivariate linear systems // Automat. Control, IEEE Trans. 1969. Vol. 14. P. 270–276.Silverman L. M. Inversion of multivariate linear systems // Automat. Control, IEEE Trans. 1969. Vol. 14. P. 270–276.Borukhov V. T. Inversion of distributed linear time-invariant dynamical systems // Automation and Remote Control. 1982. Vol. 43. P. 593–599.Borukhov V. T. Inversion of distributed linear time-invariant dynamical systems // Automation and Remote Control. 1982. Vol. 43. P. 593–599.Borukhov V. T., Zayats G. M. Identification of a time-dependent source term in nonlinear hyperbolic or parabolic heat equation // Int. J. Heat and Mass Transfer. 2015. Vol. 91. P. 1106–1113.Borukhov V. T., Zayats G. M. Identification of a time-dependent source term in nonlinear hyperbolic or parabolic heat equation // Int. J. Heat and Mass Transfer. 2015. Vol. 91. P. 1106–1113.Borukhov V. T., Vabishchevich P. N. Numerical solution of the inverse problem of reconstructing a distributed right-hand side of a parabolic equation // Comput. Phys. Commun. 2000. Vol. 126 (1–2). P. 32–36.Borukhov V. T., Vabishchevich P. N. Numerical solution of the inverse problem of reconstructing a distributed right-hand side of a parabolic equation // Comput. Phys. Commun. 2000. Vol. 126 (1–2). P. 32–36.Борухов В. Т., Корзюк В. И. Применение неклассических краевых задач для восстановления граничных режимов процессов переноса // Вестн. Белорус. ун-та. Сер. 1. 2000. № 3. С. 54–57.Борухов В. Т., Корзюк В. И. Применение неклассических краевых задач для восстановления граничных режимов процессов переноса // Вестн. Белорус. ун-та. Сер. 1. 2000. № 3. С. 54–57.Борухов В. Т., Вабищевич П. Н., Корзюк В. И. Сведение одного класса обратных задач теплопроводности к прямым начально-краевым задачам // ИФЖ. 2000. Т. 73, № 4. С. 744–747.Борухов В. Т., Вабищевич П. Н., Корзюк В. И. Сведение одного класса обратных задач теплопроводности к прямым начально-краевым задачам // ИФЖ. 2000. Т. 73, № 4. С. 744–747.Корзюк В. И., Борухов В. Т. Смешанные задачи для уравнения теплопроводности с интегро-дифференциальными условиями на границе // Вестн. Белорус. ун-та. Сер. 1. 2002. № 1. С. 57–64.Корзюк В. И., Борухов В. Т. Смешанные задачи для уравнения теплопроводности с интегро-дифференциальными условиями на границе // Вестн. Белорус. ун-та. Сер. 1. 2002. № 1. С. 57–64.Борухов В. Т., Заяц Г. М. Идентификация источников процессов переноса, описываемых уравнениями параболического типа // Тр. IX Междунар. конф. «Идентификация систем и задачи управления», SICPRO’12. Москва, 30 января – 2 февраля 2012 г.; Институт проблем управления им. В. А. Трапезникова РАН. С. 94–108.Борухов В. Т., Заяц Г. М. Идентификация источников процессов переноса, описываемых уравнениями параболического типа // Тр. IX Междунар. конф. «Идентификация систем и задачи управления», SICPRO’12. Москва, 30 января – 2 февраля 2012 г.; Институт проблем управления им. В. А. Трапезникова РАН. С. 94–108.Борухов В. Т., Заяц Г. М. Восстановление входных сигналов для одного класса квазилинейных систем гиперболического типа // XII Всероссийское совещание по проблемам управления ВСПУ-2014. Москва, 16–19 июня 2014 г.: труды. М.: ИПУ РАН, 2014. С. 2777–2786.Борухов В. Т., Заяц Г. М. Восстановление входных сигналов для одного класса квазилинейных систем гиперболического типа // XII Всероссийское совещание по проблемам управления ВСПУ-2014. Москва, 16–19 июня 2014 г.: труды. М.: ИПУ РАН, 2014. С. 2777–2786.Соболев С. Л. Локально-неравновесные модели процессов переноса // Успехи физ. наук. 1997. Т. 167, № 10. С. 1095–1106.Соболев С. Л. Локально-неравновесные модели процессов переноса // Успехи физ. наук. 1997. Т. 167, № 10. С. 1095–1106.Jou D., Casas-Vazquez J., Lebon J. Extended Irreversible Thermodynamics. Berlin: Springer, 2010.Jou D., Casas-Vazquez J., Lebon J. Extended Irreversible Thermodynamics. Berlin: Springer, 2010.Борухов В. Т., Заяц Г. М., Стеценко Ю. В., Коновалов Р. В. Определение коэффициентов теплоотдачи в процессе затвердевания отливки в струйном кристаллизаторе // ИФЖ. 2012. T. 85, № 1. С. 181–187.Борухов В. Т., Заяц Г. М., Стеценко Ю. В., Коновалов Р. В. Определение коэффициентов теплоотдачи в процессе затвердевания отливки в струйном кристаллизаторе // ИФЖ. 2012. T. 85, № 1. С. 181–187.Beck J. V., Blackwell B., Clair C. R. St. Inverse Heat Conduction: Ill-Posed Problems. New York: Wiley, 1985.Beck J. V., Blackwell B., Clair C. R. St. Inverse Heat Conduction: Ill-Posed Problems. New York: Wiley, 1985.Borukhov V. T., Kostyukova O. I., Kurdina M. A. Tracking of the preset program of weighted temperatures and reconstruction of heat transfer coefficients // J. Eng. Phys. Thermophys. 2010. Vol. 83, N 3. P. 622–631.Borukhov V. T., Kostyukova O. I., Kurdina M. A. Tracking of the preset program of weighted temperatures and reconstruction of heat transfer coefficients // J. Eng. Phys. Thermophys. 2010. Vol. 83, N 3. P. 622–631.Borukhov V. T., Kostyukova O. I. Identification of time-dependent coefficients of heat transfer by the method of suboptimal stage-by-stage optimization // Int. J. Heat and Mass Transfer. 2013. Vol. 59. P. 286–294.Borukhov V. T., Kostyukova O. I. Identification of time-dependent coefficients of heat transfer by the method of suboptimal stage-by-stage optimization // Int. J. Heat and Mass Transfer. 2013. Vol. 59. P. 286–294.Borukhov V. T., Kostyukova O. I. Reconstruction of the Surface Heat Flux for a Quasilinear System of the Hyperbolic Type Heat-Conduction Equations // Communications in Computer and Information Science. 2015. Vol. 499. P. 49–67.Borukhov V. T., Kostyukova O. I. Reconstruction of the Surface Heat Flux for a Quasilinear System of the Hyperbolic Type Heat-Conduction Equations // Communications in Computer and Information Science. 2015. Vol. 499. P. 49–67.Borukhov V. T., Kostyukova O. I. Reconstruction of heat transfer coefficients using the approach of stage-by-stage suboptimal optimization and Huber–Tikhonov filtering of input data // Automatic Control and Computer Sciences. 2013. Vol. 47, N 6. P. 289–299.Borukhov V. T., Kostyukova O. I. Reconstruction of heat transfer coefficients using the approach of stage-by-stage suboptimal optimization and Huber–Tikhonov filtering of input data // Automatic Control and Computer Sciences. 2013. Vol. 47, N 6. P. 289–299.Kostyukova O. I., Kostina E. A., Fedortsova N. M. Parametric optimal control problems with weighted L1 -norm in the cost function // Automatic Control and Computer Sciences. 2010. Vol. 44, iss. 4. P. 179–190.Kostyukova O. I., Kostina E. A., Fedortsova N. M. Parametric optimal control problems with weighted L1 -norm in the cost function // Automatic Control and Computer Sciences. 2010. Vol. 44, iss. 4. P. 179–190.Костюкова О. И., Костина Е. А., Федорцова Н. М. Параметрические задачи оптимального управления со взвешенными L1и L2-нормами в критерии качества // Тр. Ин-та математики. 2011. Т. 19, № 2. С. 47–59.Костюкова О. И., Костина Е. А., Федорцова Н. М. Параметрические задачи оптимального управления со взвешенными L1и L2-нормами в критерии качества // Тр. Ин-та математики. 2011. Т. 19, № 2. С. 47–59.Алифанов О. М. Идентификация процессов теплообмена летательных аппаратов (введение в теорию обратных задач теплообмена). М.: Машиностроение, 1979.Алифанов О. М. Идентификация процессов теплообмена летательных аппаратов (введение в теорию обратных задач теплообмена). М.: Машиностроение, 1979.Huber P. J. Robust estimation of a location parameter // Annals Math. Stat. 1964. Vol. 35, N 1. P. 73–101.Huber P. J. Robust estimation of a location parameter // Annals Math. Stat. 1964. Vol. 35, N 1. P. 73–101.Борухов В. Т. Обратная задача Штурма–Лиувилля в теории реализации линейных динамических систем // Автоматика и телемеханика. 1994. № 4. С. 13–21.Борухов В. Т. Обратная задача Штурма–Лиувилля в теории реализации линейных динамических систем // Автоматика и телемеханика. 1994. № 4. С. 13–21.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.