mathnasТруды Института математики НАН БеларусиProceedings of the Institute of Mathematics of the NAS of Belarus1812-5093Институт математики НАН Беларуси10.67268/1812-5093-2026-34-1s-60-74YLVTVZmathnas-185Research ArticleДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ И ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕDIFFERENTIAL EQUATIONS, DYNAMIC SYSTEMS AND OPTIMAL CONTROLОб устойчивости дискретных нестационарных систем линейных уравнений ВольтерраAbout the stability of discrete nonstationary systems of linear Volterra equationsАстровскийА. И.AstrovskiiA. I.

Минск

Minsk

aastrov53@gmail.comГорячкинВ. В.GorjachkinV. V.

Минск

Minsk

ugorvv@bsu.byБелорусский государственный экономический университетБеларусьBelarusian State Economic UniversityBelarusБелорусский государственный университетБеларусьBelarusian State UniversityBelarus202607112026341s6074Copyright © Астровский А.И., Горячкин В.В., 20262026Астровский А.И., Горячкин В.В.Astrovskii A.I., Gorjachkin V.V.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://mathnas.ejournal.by/jour/article/view/185

Исследуются различные типы устойчивости для дискретных нестационарных линейных систем уравнений Вольтерра, особенностью которых является зависимость каждого последующего состояния от всей предыстории процесса. Решения систем уравнений Вольтерра представлены через матрицы Коши. Установлены необходимые и достаточные условия устойчивости, асимптотической устойчивости в обычной и интервальной постановках. Полученные условия выражены в виде определенных ограничений на нормы матриц Коши и на спектральный радиус специальной матрицы. Рассмотрены задачи устойчивости возмущенной системы и получены оценки на нормы матриц возмущений, при выполнении которых сохраняется асимптотическая устойчивость.

Various type of stability for discrete nonstationary linear systems of Volterra equations are investigated, the peculiarity of which is the dependence of each subsequent state on the entire prehistory of the process. The solutions of the system of linear Volterra equations are represented through Cauchy matrices. Necessary and sufficient conditions for stability and asymptotic stability in the usual and interval statement are established. The presented conditions are expressed in the form of certain restrictions on the norms of Cauchy matrices and on the spectral radius of a special matrix. The stability problems of a perturbed system are considered and estimates are obtained based on the norms of perturbation matrices, which preserve asymptotic stability.

дискретные нестационарные системы линейных уравнений Вольтерраматрицы Кошиустойчивостьасимптотическая устойчивостьинтервальная устойчивостьзапас устойчивостиробастностьсистемы с интервальными матрицамиинтервальная арифметикаdiscrete nonstationary systems of linear Volterra equationsCauchy matricesstabilityasymptotic stabilityinterval stabilitystability marginrobustnesssystems with interval matricesinterval arithmeticReferencesДжури Э. И. Робастность дискретных систем (обзор) // Автоматика и телемеханика. 1990. № 5. С. 3–28.Djuri E. I. Robustness of discrete systems (review) // Avtomatika i telemekhanika = Automation and Remote Control, 1990, no. 5, pp. 3–28 (in Russian).Гусев Ю. М., Ефанов В. Н., Крымский В. Г., Рутковский В. Ю. Анализ и синтез линейных интервальных динамических систем (состояние проблемы). I // Известия АН СССР. Техническая кибернетика. 1991. № 1. С. 3–23.Gusev U. M., Efanov B. N., Krimskii B. G., Rutcovskii B. U. Analysis and synthesis of linear interval dynamical systems (state problem). I. Izvestiya AN USSR. Technical Cybernetics, 1991, no. 1, pp. 3–23 (in Russian).Гусев Ю. М., Ефанов В. Н., Крымский В. Г., Рутковский В. Ю. Анализ и синтез линейных интервальных динамических систем (состояние проблемы). II // Известия АН СССР. Техническая кибернетика. 1991. № 2. С. 3–30.Gusev U. M., Efanov B. N., Krimskii B. G., Rutcovskii B. U. Analysis and synthesis of linear interval dynamical systems (state problem). II. Izvestiya AN USSR. Technical Cybernetics, 1991, no. 2, pp. 3–30 (in Russian).Бобылев Н. А., Емельянов С. В., Коровин С. К. О робастной устойчивости линейных дискретных систем // Автомат. и телемех. 1998. № 8. С. 138–145.Balandin A. A., Kogan M. M. Robust stability of a parametrically perturbed pendulum. Izvestiya vuzov «PND», 2004, vol. 13, no. 3, pp. 61–66 (in Russian).Баландин А. А., Коган М. М. Робастная устойчивость параметрически возмущенного маятника // Известия вузов «ПНД». 2005. Т. 13, № 3. С. 61–66.Bobylev N. A., Emeljanov C. V., Korovin C. K. About robust stability of linear discrete systems. Avtomatica and telemekhanika = Automation and Remote Control, 1998, no. 8, pp. 138–145 (in Russian).Колмановский В. Б., Родионов А. М. Об устойчивости некоторых дискретных процессов Вольтерра // Автомат. и телемех. 1995. № 2. С. 3–13.Kolmanovskii V. B., Rodionov A. M. On stability of some discrete Volterra processes. Avtomatika i telemekhanika = Automation and Remote Control, 1995, no. 2, pp. 3–13 (in Russian).Колмановский В. Б. О применении второго метода Ляпунова к разностным уравнениям Вольтерра // Автомат. и телемех. 1995. № 11. С. 50–64.Kolmanovskii V. B. About application of the second Lyapunov method to difference Volterra equations. Avtomatika i telemekhanika = Automation and Remote Control, 1995, no. 11. pp. 50–64 (in Russian).Колмановский В. Б. Устойчивость дискретных уравнений Вольтерра // Докл. РАН. 1996. Т. 349, № 5. С. 610–614.Kolmanovskii V. B. Stability of discrete Volterra equations. Doklady Mathematics, 1996, vol. 349, no. 5, pp. 610–614 (in Russian).Гайшун И. В. Устойчивость дискретных уравнений Вольтерра // Докл. АН Беларуси. 1996. Т. 40, № 2. С. 5–8.Gaishun I. V. On stability of discrete Volterra equations. Doklady Akademii Nauk Belarusi = Doklady of the Academy of Sciences of Belarus, 1996, vol. 40, no. 2, pp. 5–8 (in Russian).Гайшун И. В. Устойчивость дискретных процессов Вольтерра с убывающим последействием // Автомат. и телемех. 1997. № 6. C. 118–124.Gaishun I. V. Stability of discrete Volterra processes with decreasing aftereffect. Avtomatika i telemekhanika = Automation and Remote Control, 1997, no. 6, pp. 118–124 (in Russian).Гайшун И. В. Дискретные уравнения с изменяющейся структурой и устойчивость их решений // Дифференц. уравнения. 1997. T. 33, № 12. С. 1607–1614.Gaishun I. V. Discrete equations with variable structure and stability their solutions. Differential equations, 1997, vol. 33, no. 12, pp. 1607–1614 (in Russian).Гайшун И. В. Стабилизируемость дискретных уравнений Вольтерра // Дифференц. уравнения. 1998. T. 34, № 2. C. 272–278.Gaishun I. V. Stabilization of discrete Volterra equations. Differential equations, 1998, vol. 34, no. 2, pp. 272–278 (in Russian).Гайшун И. В. Системы с дискретным временем. Мн.: Институт математики НАН Беларуси. 2001. 400 с.Gaishun I. V. Systems with Discrete Time. Minsk, Institute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Belarus, 2001. 400 p. (in Russian).Лакшмикантам В., Лила С., Мартынюк А. А. Устойчивость движения: метод сравнения. Киев: Наукова думка, 1991. 248 с.Lakshmikantham V., Lila S., Martynuk A. A. Stability of motion: method of comparison. Кiev, Naukova dumka, 1991. 248 p.Матросов В. М. Метод функций Ляпунова: анализ динамических свойств нелинейных систем. М.: Физматлит, 2001. 384 с.Matrosov V. M. Method of Lyapunov functions: analysis of dynamical properties of nonlinear systems. Мoscow, Fizmatlit, 2001. 384 p.Соколова С. П., Ширяева О. И. Агрегированная система сравнения для интервальной системы управления // Труды СПИИРАН. 2010. Вып. 3(14). С. 91–102. https://doi.org/10.15622/sp.14Sokolova S. P., Shiryayeva O. I. Aggregeted composite systems to interval control systems. Proceedings of the SPIIRAS, 2010, issue 3(14), pp. 91–102. https://doi.org/10.15622/sp.14Астровский А. И., Горячкин В. В., Дымков М. П. Об управляемости и наблюдаемости дискретных нестационарных линейных систем Вольтерра // Весцi Нац. акад. навук Беларусi. Сер. фiз.-мат. навук. 2023. Т. 59, № 3. С. 213–223. https://doi.org/10.29235/1561-2430-2023-59-3-213-223Astrovskii A. I., Goryachkin V. V., Dymkov M. P. On the controllability, observability and optimization of discrete nonstationary linear Volterra systems // Vestsi Natsyianal’nai akademii navuk Belarusi. Seryia fizika-matematychnykh navuk = Proceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics series, 2022, vol. 59, no. 3, pp. 213–223 (in Russian). https://doi.org/10.29235/1561-2430-2023-59-3-213-223Дымков М. П., Астровский А. И., Горячкин В. В. Об устойчивости и стабилизируемости линейных дискретных нестационарных уравнений Вольтеррa // Научные труды Белорусского государственного экономического университета. Мн.: Колорград, 2024. Вып. 17. С. 80–93. https://doi.org/10.29235/1561-2430-2023-59-3-213-223Dymkov M. P., Astrovskii A. I., Goryachkin V. V. On the stability and stabilizability of linear discrete nonstationary Volterra equations // Scientific Papers of the Belarusian State University of Economics. Minsk, Colorgrad, 2024, vol. 17, pp. 80–93 (in Russian).Астровский А. И., Горячкин В. В., Дымков М. П. Стабилизация линейных дискретных нестационарных уравнений Вольтерра // Еругинские чтения – 2026: Материалы XXII Междунар. науч. конф. по дифференц. уравнениям (Республика Беларусь, Гродно, 18–22 мая 2026 г.): в 2 ч. Ч. 1 / Институт математики Нац. акад. наук Беларуси, Белорус. гос. ун-т, Гродн. гос. ун-т им. Янки Купалы. – Гродно: ГрГУ, 2026. C. 102–104.Astrovskii A. I., Goryachkin V. V., Dymkov M. P. Stabilization of linear discrete nonstationary Volterra equations. Yeruginsky Readings–2026: Proceedings of the XXII International Scientific Conference on Differential Equations (Republic of Belarus, Grodno, May 18-22, 2026): Institute of Mathematics of the National acad. Sciences of Belarus, Belarusian State University, Grodno State University Yanka Kupala. Grodno, GrSU, 2026, pp. 102–104 (in Russian).Xорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. М.: Мир, 1989. 655 с.Horn R. A., Jonhson C. R. Topics in Matrix Analysis. Cambridge, Cambridge University Press, 1988. 655 p.Поляк Б. Т., Хлебников М. В., Щербаков П. С. Управление линейными системами при внешних возмущениях. Техника линейных матричных неравенств. М.: ЛЕНАНД, 2014.Polyak B. N., Khlebnikov V. N., Shcherbakov S. N. Control of linear systems under external influences. Technique of linear matrix inequalities. Moscow, LENAND, 2014 (in Russian).Бобылев Н. А., Емельянов С. В., Коровин С. К. Оценки возмущений устойчивых матриц // Автомат. и телемех. 1998. № 4. С. 15–24.Bobylev N. A., Emeljanov C. V., Korovin C. K. Estimates of disturbances for stability matrix. Avtomatika i telemekhanika = Automation and Remote Control, 1998, no. 4, pp. 15–24 (in Russian).Алефельд Г., Херцбергер Ю. Введение в интервальные вычисления. М.: Мир, 1987. 360 с.Alefeld G., Herzberger J. Introduction to interval computations. Toronto, Academic Press, 1983. 360 p.Калмыков С. А., Шокин Ю. А., Юлдашев З. Х. Методы интервального анализа. Новосибирск: Наука, 1986. 224 с.Kalmykov S. A., Shokin I. Y., Yuldashev Z. C. Methods of interval analysis. Novosibirsk, Nauka, 1986. 224 p. (in Russian).Шарый С. П. Конечномерный интервальный анализ. Новосибирск: XYZ, 2019. 647 с. – URL: https://www.nsc/interval/Libraly/InterBookc/SharyBook.pdf.Sharyi S. P. Finite-dimensional interval analysis. Novosibirsk, XYZ, 2019. 647 p. (in Russian). URL: https://www.nsc/interval/Libraly/InterBookc/SharyBook.pdfЖолен Л., Кифер М., Дидри О., Вальтер Э. Прикладной интервальный анализ. М.; Ижевск, 2005.Jolene L., Kiefer M., Didri O., Walter E. Applied interval Analysis. Moscow, Izhevsk, 2005 (in Russian).Ащепков Л. Т. Неотрицательная управляемость интервальной линейной системы // Известия Иркутского государственного университета. 2009. Т. 2, № 1. С. 37–51.Ashchepkov L. T. Non-negative controllability of the interval linear system. Izvestiya Irkutsk State University, 2009, vol. 2, no. 1, pp. 37–51 (in Russian).

The authors declare that there are no conflicts of interest present.