mathnasТруды Института математики НАН БеларусиProceedings of the Institute of Mathematics of the NAS of Belarus1812-5093Институт математики НАН Беларуси10.67268/1812-5093-2026-34-1-96-117YYKKVTmathnas-143Research ArticleМАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫMATHEMATICAL MODELING AND NUMERICAL METHODSЧисленный метод для нахождения эффективного модуля Юнга композиционных порошковых материаловNumerical method for finding the effective Young’s modulus of composite powder materialsГромыкоГ. Ф.GromykoG. F.

Минск

Minsk

grom@im.bas-net.byАвласА. Н.AulasA. N.

Минск

Minsk

aulas@im.bas-net.byИнститут математики НАН БеларусиInstitute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Belarus20263006202634196117Copyright © Громыко Г.Ф., Авлас А.Н., 20262026Громыко Г.Ф., Авлас А.Н.Gromyko G.F., Aulas A.N.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://mathnas.ejournal.by/jour/article/view/143

Статья посвящена разработке вычислительной методики для определения эффективного модуля Юнга композиционных порошковых материалов на основе анализа их микроструктуры. Предлагаемый подход включает построение двумерной геометрической модели микроструктуры композита в виде ячейки периодичности, формулировку математической модели, имитирующей физический эксперимент на растяжение-сжатие представительного объема, и численную реализацию методом контрольного объема на структурированных четырехугольных сетках. Учитываются свойства матрицы и включений, их объемное содержание и форма. Эффективный модуль упругости вычисляется на основе энергетического баланса: работа внешних сил приравнивается к сумме энергий деформации всех ячеек сетки. Приведены результаты вычислительных экспериментов для композитов на основе меди с включениями карбида вольфрама и тефлона, а также для градиентных покрытий на основе NiCr с добавлением TiC. Показано, что методика позволяет прогнозировать изменение модуля упругости в зависимости от объемной доли наполнителя и может быть использована при проектировании слоистых износостойких покрытий.

The article focuses on the development of a computational procedure for determining the effective Young’s modulus of composite powder materials based on the analysis of their microstructure. The proposed approach includes constructing a two-dimensional geometric model of the composite microstructure as a periodicity cell, formulating a mathematical model that simulates a physical tension–compression test of a representative volume element, and performing numerical implementation using the control volume method on structured quadrilateral grids. The properties of the matrix and inclusions, their volume fractions, and morphology are taken into account. The effective elastic modulus is calculated based on an energy balance: the work done by external forces is equated to the sum of the strain energies of all grid cells. The results of computational experiments are presented for copper-matrix composites with tungsten carbide and Teflon inclusions, as well as for NiCr-based gradient coatings with TiC additives. It is shown that the procedure allows predicting the variation of the elastic modulus as a function of the filler volume fraction and can be used in the design of layered wear-resistant coatings.

композиционные порошковые материалыэффективный модуль упругостиметод контрольного объемачисленное моделированиеячейка периодичностипредставительный объемнапряженно-деформированное состояниеградиентные покрытиямеханика деформируемого твердого телаcomposite powder materialseffective elastic moduluscontrol volume methodnumerical simulationperiodicity cellrepresentative volume elementstress-strain stategradient coatingssolid mechanics.ReferencesXiao-Su Yi, Shanyi Du, Litong Zhang. Composite Materials Engineering, Volume 2. Different Types of Composite Materials. Singapore: Springer Singapore – Chemical Industry Press, 2018. 617 с. https://doi.org/10.1007/978-981-10-5690-1Xiao-Su Yi, Shanyi Du, Litong Zhang. Composite Materials Engineering, Volume 2: Different Types of Composite Materials. Singapore, Springer Singapore – Chemical Industry Press, 2018. 617 p. https://doi.org/10.1007/978-981-10-5690-1Dhuria Mohit, Grover Neeraj, Goyal Kavita. Review of solution methodologies for structural analysis of composites // European Journal of Mechanics – A/Solids. 2024. Vol. 103. Art. 105157. https://doi.org/10.1016/j.euromechsol.2023.105157Dhuria Mohit, Grover Neeraj, Goyal Kavita. Review of solution methodologies for structural analysis of composites. European Journal of Mechanics – A/Solids, 2024, vol. 103, art. 105157. https://doi.org/10.1016/j.euromechsol.2023.105157Alotaibi Hatim, Soutis Constantinos, Jabbari Masoud. FEM and FVM methods for design and manufacturing of hierarchical aerospace composites: A review // Applied Sciences. 2025. Vol. 15, N 16. Art. 8896. https://doi.org/10.3390/app15168896Alotaibi Hatim, Soutis Constantinos, Jabbari Masoud. FEM and FVM methods for design and manufacturing of hierarchical aerospace composites: A review. Applied Sciences, 2025, vol. 15, no. 16, art. 8896. https://doi.org/10.3390/app15168896Люкшин Б. А., Шилько С. В., Панин С. В. и др. Дисперсно-наполненные полимерные композиты технического и медицинского назначения. Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2017. 311 с.Lyukshin B. A., Shilko S. V., Panin S. V. et al. Dispersion-Filled Polymer Composites for Technical and Medical Purposes. Novosibirsk, Publishing House of the Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences, 2017. 311 p. (in Russian).Zvi Hashin. Thin interphase/imperfect interface in elasticity with application to coated fiber composites // Journal of the Mechanics and Physics of Solids. 2002. Vol. 50, N 12. P. 2509–2537. https://doi.org/10.1016/S0022-5096(02)00050-9Zvi Hashin. Thin interphase/imperfect interface in elasticity with application to coated fiber composites. Journal of the Mechanics and Physics of Solids, 2002, vol. 50, no. 12, pp. 2509–2537. https://doi.org/10.1016/S0022-5096(02)00050-9Terada Kenjiro, Kikuchi Noboru. Microstructural modeling technique for homogenization analysis using digital images // Transactions of the Japan Society of Mechanical Engineers. Series A, 1998. Vol. 64, N 617. P. 170–177. https://doi.org/10.1299/kikaia.64.170Terada Kenjiro, Kikuchi Noboru. Microstructural modeling technique for homogenization analysis using digital images. Transactions of the Japan Society of Mechanical Engineers. Series A, 1998, vol. 64, no. 617, pp. 170–177. https://doi.org/10.1299/kikaia.64.170Лурье А. И. Теория упругости. М.: Наука, 1978. 512 с.Lurie A. I. Theory of Elasticity. Moscow, Nauka, 1978. 512 p. (in Russian).Бабичев А. П. и др. Физические величины: Справочник. М.: Энергоатомиздат, 1991. 1232 с.Babichev A. P. et al. Physical Quantities: Handbook. Moscow, Energoatomizdat, 1991. 1232 p. (in Russian).Колчанов Н. В., Колчанова Е. А. Механика: методические указания к общему физическому практикуму. Пермь: Пермский государственный национальный исследовательский университет (ПГНИУ), 2020. 121 с.Kolchanov N. V., Kolchanova E. A. Mechanics: methodological guidelines for the general physics laboratory course. Perm, Perm State National Research University (PSNRU)), 2020. 121 p. (in Russian).Громыко Г. Ф., Мацука Н. П., Ильющенко А. Ф. и др. Численное исследование теплофизических свойств композиционного порошкового материала // Порошковая металлургия. 2020. № 43. С. 132–139.Gromyko G. F., Matsuka N. P., Ilyushchenko A. F. et al. Numerical study of thermophysical properties of composite powder material. Powder Metallurgy, 2020, no. 43, pp. 132–139 (in Russian).Авлас А. Н. Численный расчет эффективного коэффициента теплопроводности дисперсно-наполненных композиционных материалов // Труды Института математики НАН Беларуси. 2024. Т. 32, №1. С. 86–96.Avlas A. N. Numerical calculation of the effective thermal conductivity of dispersion-filled composite materials. Proceedings of the Institute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Belarus, 2024, vol. 32, no. 1, pp. 86–96 (in Russian).Henk A. van der Vorst. Iterative Krylov Methods for Large Linear Systems. Cambridge: Cambridge University Press, 2003. 221 p.Henk A. van der Vorst. Iterative Krylov Methods for Large Linear Systems. Cambridge, Cambridge University Press, 2003. 221 p.Темам Р., Миранвиль А. Математическое моделирование в механике сплошных сред. М.: Лаборатория знаний, 2025. 323 с.Temam R., Miranville A. Mathematical Modeling in Continuum Mechanics. Moscow, Laboratory of Knowledge, 2025. 323 p. (in Russian).Никитин Д. С., Шаненков И. И., Насырбаев А. Р. и др. Получение порошков меди и металломатричных композитов с медной матрицей в плазме дугового разряда // Известия Томского политехнического университета. Инжиниринг георесурсов. 2026. Т. 337, № 2. С. 149–160. https://doi.org/10.18799/24131830/2026/2/5232Nikitin D. S., Shanenkov I. I., Nasyrbaev A. R. et al. Production of copper powders and metal-matrix composites with a copper matrix in arc discharge plasma. Bulletin of Tomsk Polytechnic University. Geoassets Engineering, 2026, vol. 337, no. 2, pp. 149–160 (in Russian). https://doi.org/10.18799/24131830/2026/2/5232Ковтун В. А., Пасовец В. Н., Плескачевский Ю. М. и др. Триботехнические и прочностные характеристики гибридных нанонаполненных металлополимерных порошковых композитов // Вестниг ПГУ. Серия В, Промышленность. Прикладные науки. 2016. № 3. С. 108–114.Kovtun V. A., Pasovets V. N., Pleskachevsky Yu. M. et al. Tribotechnical and strength characteristics of hybrid nanofilled metal-polymer powder composites. PSU Bulletin. Series B, Industry. Applied Sciences, 2016, no. 3, pp. 108–114 (in Russian).Xiaoyan Zhang, Qian Lei, Yang Gao et al. High-strength wear-resistant Cu/tungsten carbide/diamond composites fabricated by powder metallurgy // Adv. Eng. Mater. 2024. Vol. 26, N 11. Art. 2302142. https://doi.org/10.1002/adem.202302142Xiaoyan Zhang, Qian Lei, Yang Gao et al. High-strength wear-resistant Cu/tungsten carbide/diamond composites fabricated by powder metallurgy. Adv. Eng. Mater., 2024, vol. 26, no. 11, art. 2302142. https://doi.org/10.1002/adem.202302142Wang B., Praksh V. Sound speed measurements in shock compressed cemented tungsten carbide: Evolution of elastic moduli with damage at pressures to 100 GPa // Journal of Applied Physics. 2024. Vol. 135, N 13. Art. 135901. https://doi.org/10.1063/5.0195772Wang B., Praksh V. Sound speed measurements in shock compressed cemented tungsten carbide: Evolution of elastic moduli with damage at pressures to 100 GPa. Journal of Applied Physics, 2024, vol. 135, no. 13, art. 135901. https://doi.org/10.1063/5.0195772Berladir K., Zhyhylii D., Brejcha J. et al. Computer simulation of composite materials behavior under pressing // Polymers. 2022. Vol. 14, N. 23. Art. 5288. https://doi.org/10.3390/polym14235288Berladir K., Zhyhylii D., Brejcha J. et al. Computer simulation of composite materials behavior under pressing. Polymers, 2022, vol. 14, no. 23, art. 5288. https://doi.org/10.3390/polym14235288Ильющенко А. Ф., Шевцов А. И., Громыко Г. Ф. и др. К вопросу оптимизации технологических параметров упрочнения поверхностей трения газотермическим распылением металлокерамических порошков с последующей обработкой покрытий высокоэнергетическими импульсами // Порошковая металлургия. 2025. № 48. С. 195–202.Ilyushchenko A. F., Shevtsov A. I., Gromyko G. F. et al. On the issue of optimizing technological parameters for strengthening friction surfaces by thermal spraying of metal-ceramic powders followed by coating treatment with high-energy pulses. Powder Metallurgy, 2025, no. 48, pp. 195–202 (in Russian).

The authors declare that there are no conflicts of interest present.