mathnasТруды Института математики НАН БеларусиProceedings of the Institute of Mathematics of the NAS of Belarus1812-5093Институт математики НАН Беларуси10.67268/1812-5093-2026-34-1-76-84DQVILPmathnas-141Research ArticleДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ И ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕDIFFERENTIAL EQUATIONS, DYNAMIC SYSTEMS AND OPTIMAL CONTROLНеобходимое условие разрешимости задачи управления асинхронным спектром линейных периодических систем с невырожденной матрицей при управлении в нерезонансном случаеNecessary condition of solvability of the control problem of the asynchronous spectrum of linear periodic systems with non-degenerate matrix in control in non-resonant caseДеменчукА. К.DemenchukA. K.

Минск

Minsk

demenchuk@im.bas-net.byМакаровЕ. К.MakarovE. K.

Минск

Minsk

jcm@im.bas-net.byИнститут математики НАН БеларусиInstitute of Mathematic of the National Academy of Sciences of Belarus2026300620263417684Copyright © Деменчук А.К., Макаров Е.К., 20262026Деменчук А.К., Макаров Е.К.Demenchuk A.K., Makarov E.K.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://mathnas.ejournal.by/jour/article/view/141

Рассматривается линейная периодическая система управления с постоянной невырожденной матрицей при управлении. Программное управление является периодическим, причем его период несоизмерим с периодом матрицы коэффициентов. Допустимое множество таких периодических управлений названо иррегулярным. Ставится задача выбора такого управления из указанного допустимого множества, чтобы теперь уже у квазипериодической системы появилось частично нерегулярное периодическое решение с заданным спектром частот, период которого совпадает с периодом управления. Такая задача названа задачей управления асинхронным спектром с иррегулярным допустимым множеством. Для ее решения исходная система сводится к некоторой линейной неоднородной системе меньшей размерности. Изучается нерезонансный случай, когда соответствующая однородная система не имеет нерегулярных периодических решений. Получено необходимое условие разрешимости задачи управления асинхронным спектром с иррегулярным допустимым множеством.

A linear periodic system with a constant non-degenerate matrix under control is considered. The program control is periodic, and its period is incommensurable with the period of the coefficient matrix. The admissible set of such periodic controls is called irregular. The problem is to choose such a control from this admissible set so that the now quasi-periodic system has a partially irregular periodic solution with a given frequency spectrum whose period coincides with the period of the control. Such problem is called the control problem of the asynchronous spectrum with an irregular admissible set. To solve it, the original system is reduced to some linear nonhomogeneous system of lower dimension. The non-resonant case is studied, when the corresponding homogeneous system has no irregular periodic solutions. A necessary condition for the solvability of the control problem of the asynchronous spectrum with an irregular admissible set is obtained.

линейная система управленияпериодическое решениеуправление асинхронным спектромиррегулярное допустимое множествонерезонансный случай.linear control systemperiodic solutionasynchronous spectrum controlirregular feasible setnon-resonant case.Работа выполнена в Институте математики НАН Беларуси при поддержке БРФФИ (проект № Ф25КИ-015).ReferencesХейл Дж. Колебания в нелинейных системах. М.: Мир, 1966.Hale J. Oscillations in Nonlinear Systems. Moscow, Mir, 1966 (in Russian).Якубович В. А. Линейные дифференциальные уравнения и их приложения. М.: Наука, 1972.Yakubovich V. A., Starginskii V. M. Linear Differential Equations with Periodic Coefficients and Their Applications. Moscow, Nauka, 1972 (in Russian).Бабаков И. М. Теория колебаний. М.: Дрофа, 2004.Babakov I. M. Theory of Oscillations. Moscow, Drofa, 2004 (in Russian).Гусев А. Ф., Новоселова М. В. Прикладная теория колебаний. Тверь: ТвГТУ, 2017.Gusev A. F., Novoselova M. V. Applied Theory of Oscillations. Tver, TvGTU, 2017 (in Russian).Стрелков С. П. Введение в теорию колебаний. М.: Лань, 2024.Strelkov S. P. Introduction to the Theory of Oscillations. Moscow, Lan, 2024 (in Russian).Папалекси Н. Д. Об одном случае параметрически связанных систем // Journ. Of Phys. Acad. Sc. USSR. 1939. Т. 1. С. 373–379.Papaleksi N. D. On one case of parametrically related systems. Journ. Of Phys. Acad.of Sc. of USSR, 1939, vol. 1, pp. 373–379 (in Russian).Пеннер Д. И., Дубошинский Я. Б., Дубошинский Д. Б., Козаков М. И. Колебания с саморегулирующимся временем взаимодействия // Докл. АН СССР. 1972. Т. 204, № 5. C. 1065–1066.Penner D. I., Duboshinskii Ya. B., Duboshinskii D. B. Oscillations with self-regulating interaction time. Doklady Acad. of Sci. of USSR, 1972, vol. 204, no. 5, pp. 1065–1066 (in Russian).Пеннер Д. И., Дубошинский Д. Б., Козаков М. И., Вермель А. С., Галкин Ю. В. Асинхронное возбуждение незатухающих колебаний // Успехи физ. наук. 1973. Т. 109, вып. 1. С. 402–406.Penner D. I., Duboshinsky D. B., Kozakov M. I., Vermel A. S., Galkin Yu. V. Asynchronous excitation of undamped oscillations. Uspekhi fizicheskikh nauk, 1973, vol. 109, no. 1, pp. 402–406 (in Russian).Massera J. L. Observaciones sobre les soluciones periodicas de ecuaciones diferenciales // Bol. de la Facultad de Ingenieria. 1950. Vol. 4, N 1. P. 37–45.Massera J. L. Observaciones sobre les soluciones periodicas de ecuaciones diferenciales. Bol. de la Facultad de Ingenieria, 1950, vol. 4, no. 1, pp. 37–45.Курцвейль Я., Вейвода О. О периодических и почти периодических решениях систем обыкновенных дифференциальных уравнений // Чехосл. мат. журнал. 1955. Т. 5, № 3. С. 362–370.Kurzweil Ya., Veyvoda O. On periodic and almost periodic solutions of systems of ordinary differential equations. Czechosl. Math. J., 1955, vol. 5, no. 3, pp. 362–370 (in Russian).Еругин Н. П. О периодических решениях дифференциальных уравнений // Прикл. математика и механика. 1956. Т. 20, вып. 1. С. 148–152.Erugin N. P. On periodic solutions of differential equations. Priklad. Math. and Mech., 1956, vol. 20, is. 1, pp. 148–152 (in Russian).Гайшун И. В. Уравнения в полных производных с периодическими коэффициентами // Докл. АН БССР. 1979. Т. 23, № 8. С. 684–686.Gaishun I. V. Total derivative equations with periodic coefficients. Doklady Acad. of Sci. of BSSR, 1979, vol. 23, no. 8, pp. 684–686 (in Russian).Грудо Э. И., Деменчук А. К. О периодических решениях с несоизмеримыми периодами линейных неоднородных периодических дифференциальных систем // Дифференц. уравнения. 1987. Т. 23, № 3. С. 409–416.Grudo E. I., Demenchuk A. K. On periodic solutions with incommensurate periods of linear inhomogeneous periodic differential systems. Differential Equations, 1987, vol. 23, no. 3, pp. 409–416 (in Russian).Борухов В. Т. Сильно инвариантные подпространства неавтономных линейных периодических систем и их решения с периодом, несоизмеримым с периодом системы // Дифференц. уравнения. 2018. Т. 54, № 5. С. 585–591.Borukhov V. T. Strongly invariant subspaces non-autonomous linear periodic systems and their solutions with period, incommensurable with the period of the system. Differential Equations, 2018, vol. 54, no. 5, pp. 585–591 (in Russian).Ласунский А. В. О периодических решениях системы разностных уравнений, период которых взаимно прост с периодом системы // Труды ИММ УрО РАН. 2025. Т. 31, № 1. C. 110–118.Lasunsky А. В. On periodic solutions of a system of difference equations whose period is coprime with the period of the system. Trudy Inst. Mat. Mekh. UrO RAN, 2025, vol. 31, no. 1, pp. 110–118 (in Russian).Demenchuk А. K. Partially irregular almost periodic solutions of ordinary differential systems // Math. Bohemica. 2001. Vol. 126, N 1. P. 221–228.Demenchuk А. K. Partially irregular almost periodic solutions of ordinary differential systems. Math. Bohemica, 2001, vol. 126, no. 1, pp. 221–228.Ланда П. С., Дубошинский Я. Б. Автоколебательные системы с высокочастотными источниками энергии // Успехи физ. наук. 1989. Т. 158, вып. 4. С. 729–742.Landa P. S., Duboshinskii Ya. B. Self-oscillatory systems with high-frequency energy sources. Uspekhi Fiz. Nauk, 1989, vol. 158, is. 4, pp. 729–742 (in Russian).Деменчук А. К. Задача управления спектром сильно нерегулярных периодических колебаний // Доклады НАН Беларуси. 2009. Т. 53, № 4. С. 37–42.Demenchuk А. K. Problem of control of the spectrum of strongly irregular periodic oscillations. Doklady NAN Belarusi, 2009, vol. 53, no. 4, pp. 37–42 (in Russian).Деменчук А. К. Управление спектром нерегулярных колебаний линейных систем с совпадением рангов матрицы при управлении и расширенной матрицы // Дифференц. уравнения. 2011. Т. 47, № 9. С. 1241–1246.Demenchuk A. K. Control of the spectrum of irregular oscillations of linear systems with the coincidence ranks of the control matrix and the extended matrix. Differential Equations, 2011, vol. 47, no. 9, pp. 1241–1246 (in Russian).Деменчук А. К. Управление асинхронным спектром линейных систем с невырожденным средним значением матрицы коэффициентов // Труды Института математики. 2020. Т. 28, № 1–2. С. 11–16.Demenchuk A. K. Control of an asynchronous spectrum of linear systems with a non-degenerate average value of the coefficient matrix. Trudy Instituta Matematiki, 2020, vol. 28, № 1–2, pp. 11–16 (in Russian).Деменчук А. К. Асинхронные колебания в дифференциальных системах. Условия существования и управления. Saarbrucken: Lambert Academic Publishing, 2012.Demenchuk A. K. Asynchronous oscillations in differential systems. Conditions of existence and control. Saarbrucken, Lambert Academic Publishing, 2012 (in Russian).Деменчук А. К., Макаров Е. К. Задача управления асинхронным спектром линейных периодических систем с иррегулярным допустимым множеством – необходимое условие разрешимости // Труды Института математики НАН Беларуси. 2025. Т. 33, № 2. С. 90–95.Demenchuk A. K., Makarov E. K. The problem of controlling an asynchronous spectrum of linear periodic systems with an irregular allowable set is a necessary condition for solvability. Proceeding of the Institute of Mathematics of the NAS of Belarus, 2025, vol. 33, no. 2, pp. 90–95 (in Russian).Левитан Б. М. Почти периодические функции. М.: ГТТИ, 1953.Levitan B. M. Almost Periodic Functions. Moscow, GTTI, 1953 (in Russian).Деменчук А. К. Зависимость между компонентами сильно нерегулярного квазипериодического решения линейной однородной алгебраической системы // Труды Института математики НАН Беларуси. 2024. Т. 32, № 1. С. 67–74.Demenchuk A. K. Dependence between the components of a strongly irregular quasi-periodic solution of a linear homogeneous algebraic system. Proceeding of the Institute of Mathematics of the NAS of Belarus, 2024, vol. 32, no. 1, pp. 67–74 (in Russian).Демидович Б. М. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967.Demidovich B. M. Lectures on Mathematical Theory of Stability. Moscow, Nauka, 1967 (in Russian).

The authors declare that there are no conflicts of interest present.