mathnasТруды Института математики НАН БеларусиProceedings of the Institute of Mathematics of the NAS of Belarus1812-5093Институт математики НАН Беларусиmathnas-14Research ArticleМАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫMATHEMATICAL MODELING AND NUMERICAL METHODSТрехслойные компактные разностные схемы для параболического уравненияThree-layer of compact difference schemes for the parabolic equationМатусП. П.MatusP. P.

Минск

Minsk

piotr.p.matus@gmail.comТуенВ. Т. К.TuyenV. T. K.

Минск

Minsk

vokimtuyen188@gmail.comИнститут математики НАН БеларусиБеларусьInstitute of Mathematics of the National Academy of Sciences of BelarusBelarus202430092024321110120Copyright © Матус П.П., Туен В.Т., 20242024Матус П.П., Туен В.Т.Matus P.P., Tuyen V.T.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://mathnas.ejournal.by/jour/article/view/14

Эта работа посвящена построению и исследованию трехслойных компактных разностных схем порядка аппроксимации $O(h^4+\tau^2)$ для линейных и квазилинейных параболических уравнений. В линейном случае получены априорные оценки устойчивости по входным данным и правой части. Базовой схемой для построения разностных схем заданного качества является асимптотически устойчивая схема второго порядка точности $O(h^4+\tau^2)$ А. А. Самарского. Результаты обобщены на случай граничных условий третьего рода и переменные коэффициенты. Так же построена трехслойная схема порядка $O(h^6+\tau^3)$ на трехточечном шаблоне по пространству, которая позволяет использовать метод прогонки для решения соответствующей системы алгебраических уравнений. Приведены эксперименты, иллюстрирующие правильность наших теоретических утверждений. Моделирование нелинейных задач с бегущими волнами показало, что эти алгоритмы можно успешно применять и в случае наличия особенностей в решении дифференциальных задач.

This paper is dedicated to construction and study of three-layer of compact difference schemes for linear and quasi-linear parabolic equations of order $O(h^4+\tau^2)$. In the linear case, a priori stability estimates from the initial data on the right side are obtained. The basic scheme for constructing difference schemes of a given quality is the asymptotic stability of the second order of accuracy $O(h^4+\tau^2)$ by A. A. Samarsky. The results are generalized to the case of boundary conditions of the third kind, variable coefficients. A three-layer scheme of approximation order $O(h^6+\tau^3)$ is also constructed on a three-point stencil in space, which allows to use an economical sweep method to solve the corresponding system of algebraic equations. Numerical experiments are presented to illustrate the correctness of our theoretical conclusions. Simulation of nonlinear processes with traveling waves showed that these algorithms can also be used for differential problems that have features in solution.

компактная разностная схемаустойчивостьпогрешность аппроксимациипараболическое уравнениерегуляризаторcompact difference schemestabilityapproximation errorparabolic equationregularizerReferencesСамарский А. А., Вабищевич П. Н., Матус П. П. Разностные схемы с операторными множителями. М.: Наука, 1998. 442 c.Samarskii A. A., Vabishchevich P. N., Matus P. P. Difference schemes with operator factors. Dordrecht, 2002. 348 p.Самарский А. А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1987. 616 c.Samarskii A. A. Theory of difference schemes. Moscow, 1989. 616 p. (in Russian).Самарский А. А. Схемы повышенного порядка точности для многомерного уравнения теплопроводности // Журн. вычисл. математики и матем. физики. 1963. Т. 3, № 5. С. 812–840.Samarskii A. A. Schemes of high-order accuracy for the multi-dimensional heat conduction equation. USSR Computational Mathematics and Mathematical Physics, 1963, vol. 3, no. 5, pp. 1107–1146. doi: 10.1016/0041-5553(63)90104-6Матус П. П., Утебаев Б. Д. Компактные и монотонные разностные схемы для параболических уравнений // Математическое моделирование. 2021. Т. 33, № 4. С. 60–78. doi: 10.20948/mm-2021-04-04Matus P. P., Utebaev B. D. Compact and monotone difference schemes for parabolic equations. Mathematical Models and Computer Simulations, 2021, vol. 13, pp. 1038–1048. doi: 10.1134/s2070048221060132Матус П. П., Ань Х. Т. К. Компактные разностные схемы на трехточечном шаблоне для гиперболических уравнений второго порядка // Дифференц. уравнения. 2021. Т. 57, № 7. С. 963–975. doi: 10.31857/s0374064121070098Matus P. P., Anh H. Th. K. Compact difference schemes on a three-point stencil for second-order hyperbolic equations. Differential Equations, 2021, vol. 57, no. 7, pp. 934–946. doi: 10.1134/s0012266121070090Матус П. П., Утебаев Б. Д. Компактные и монотонные разностные схемы для обобщенного уравнения Фишера // Дифференц. уравнения. 2022. Т. 58, № 7. С. 947–961.Matus P. P., Utebaev B. D. Compact and monotone difference schemes for the generalized Fisher equation. Differential Equations, 2022, vol. 58, no. 7, pp. 937–951. doi: 10.1134/s0012266122070072Матус П. П., Громыко Г. Ф., Утебаев Б. Д. Консервативные компактные и монотонные разностные схемы четвертого для квазилинейных уравнений // Докл. Нац. акад. наук Беларуси. 2024. Т. 68, № 1. С. 7–14. doi: 10.29235/1561-8323-2024-68-1-7-14Matus P. P., Gromyko G. Ph., Utebaev B. D. Conservative compact and monotone fourth order difference schemes for quasilinear equations. Doklady of the National Academy of Sciences of Belarus, 2024, vol. 68, no. 1, pp. 7–14 (in Russian). doi: 10.29235/1561-8323-2024-68-1-7-14Самарский А. А., Галактионов В. А., Курдюмов С. П., Михайлов А. П. Режимы с обострением в задачах для квазилинейных параболических уравнений. М.: Наука, 1987.Samarskii A. A., Galaktionov V. A., Kurdyumov S. P., Mikhailov A. P. Modes with blow-up in problems for quasilinear parabolic equations. Moscow, Nauka Publ., 1987 (in Russian).Саульев В. К. Интегрирование уравнений параболического типа методом сеток. М.: Физматгиз, 1960.Saul’ev V. K. Integration of equations of parabolic type by the grid method. Moscow, Fizmatgiz, 1960 (in Russian).Wang T. Convergence of an eight-order compact difference scheme for the nonlinear Schrodinger equation // Advances in Numerical Analysis. 2012. Vol. 2012. P. 1–24.Wang T. Convergence of an eight-order compact difference scheme for the nonlinear Schrodinger equation. Advances in Numerical Analysis, 2012, vol. 2012, pp. 1–24.Полевиков В. К. Монотонная разностная схема повышенного порядка точности для двумерных уравнений конвекции-диффузии // Журн. Белорус. гос. ун-та. Математика. Информатика. 2019. № 3. С. 71–83. doi: 10.33581/2520-6508-2019-3-71-83Polevikov V. K. A monotone finite-difference high order accuracy scheme for the 2D convection–diffusion equations. Journal of the Belarusian State University. Mathematics and Informatics, 2019, no. 3, pp. 71–83. doi: 10.33581/2520-6508-2019-3-71-83Самарский А. А. Уравнения параболического типа с разрывными коэффициентами // Докл. АН. СССР. 1958. Т. 121, № 2. С. 225–228.Samarskii A. A. Parabolic equations with discontinuity coefficients. Dokl. Akad. Nauk SSSR, 1958, vol. 121, pp. 225–228 (in Russian).

The authors declare that there are no conflicts of interest present.