mathnasТруды Института математики НАН БеларусиProceedings of the Institute of Mathematics of the NAS of Belarus1812-5093Институт математики НАН Беларуси10.67268/1812-5093-2026-34-1-56-67FEQFZFmathnas-139Research ArticleВЕЩЕСТВЕННЫЙ, КОМПЛЕКСНЫЙ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗREAL, COMPLEX AND FUNCTIONAL ANALYSISЯвное решение дифференциальных краевых задач типа задачи РиманаExplicit solution of differential boundary value problems such as the Riemann problemШилинА. П.ShilinA. P.

Минск

Minsk

a.p.shilin@gmail.comБелорусский государственный университетBelarusian State University2026300620263415667Copyright © Шилин А.П., 20262026Шилин А.П.Shilin A.P.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://mathnas.ejournal.by/jour/article/view/139

На замкнутой кривой, расположенной на комплексной плоскости, изучаются обобщенные краевые задачи Римана. В краевое условие задач наряду с предельными значениями искомых функций входят предельные значения их производных. Краевое условие записывается с помощью определителей, близких к определителям Вронского. Решение задач сводится к решению классической задачи Римана и решению линейных дифференциальных уравнений в областях комплексной плоскости с некоторыми ограничениями на решения. Явно указываются условия разрешимости исходных задач, при их выполнении приводятся явные формулы решений. Приведены примеры.

Generalized Riemann boundary problems are studied on a closed curve located on the complex plane. The boundary condition of the problems, along with the limit values of the desired functions, includes the limit values of their derivatives. The boundary conditions is written using determinants close to Vronsky's determinants. The solution of the problems is reduced to solving the classical Riemann problem and solving linear differential equations in areas of the complex plane with some restrictions on the solutions. The conditions for the solvability of the initial problems are indicated explicitly, and when they are fulfilled, explicit formulas for solutions are indicated. Examples are given.

краевая задача Риманалинейные дифференциальные уравненияметод вариации постоянныхобобщенные формулы СохоцкогоопределителиRiemann boundary value problemlinear differential equationsmethod of variation of constantsgeneralized formulas of SokhotskydeterminantsReferencesГахов Ф. Д. Краевые задачи. М.: Наука, 1977.Gakhov F. D. Boundary Value Problems. Moscow, Nauka, 1977 (in Russian).Мусхелишвили Н. И. Сингулярные интегральные уравнения. М.: Наука, 1968.Muskhelishvili N. I. Singular Integral Equations. Moscow, Nauka, 1968 (in Russian).Крикунов Ю. М. О решении обобщенной краевой задачи Римана и линейного сингулярного интегро-дифференциального уравнения // Ученые записки Казанского университета. 1952. T. 112, № 10. С. 191–199.Krikunov Yu. M. On the solution of the generalized Riemann boundary value problem and the linear singular integro-differential equation. Scientific Notes Kazan University, 1952, vol. 112, no. 10, pp. 191–199 (in Russian).Шилин А. П. Дифференциальная краевая задача Римана и ее приложение к интегро-дифференциальным уравнениям // Доклады Национальной академии наук Беларуси. 2019. Т. 63, № 4. С. 391–397. https://doi.org/10.29235/1561-8323-2019-63-4-391-397Shilin A. P. Riemann’s differential boundary-value problem and its application to integrodifferential equations. Doklady of the National Academy of Sciences of Belarus, 2019, vol. 63, no. 4, pp. 391–397 (in Russian). https://doi.org/10.29235/1561-8323-2019-63-4-391-397Шилин А. П. Гиперсингулярное интегро-дифференциальное уравнение с линейными функциями в коэффициентах // Весцi Нацыянальнай акадэмii навук Беларусi. Серыя фiзiка-матэматычных навук. 2022. Т. 58, № 4. С. 358–369. https://doi.org/10.29235/1561-2430-2022-58-4-358-369Shilin A. P. A hypersingular integro-differential equation with linear functions in coefficients. Proceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics Series, 2022, vol. 58, no. 4, pp. 358–369 (in Russian). https://doi.org/10.29235/1561-2430-2022-58-4-358-369Зверович Э. И. Обобщение формул Сохоцкого // Весцi Нацыянальнай акадэмii навук Беларусi. Серыя фiзiка-матэматычных навук. 2012. № 2. С. 24–28.Zverovich E. I. Generalization of Sokhotsky formulas. Proceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics Series, 2012, no. 2, pp. 24–28 (in Russian).

The authors declare that there are no conflicts of interest present.