mathnasТруды Института математики НАН БеларусиProceedings of the Institute of Mathematics of the NAS of Belarus1812-5093Институт математики НАН Беларуси10.67268/1812-5093-2026-34-1-45-55ETIXQPmathnas-138Research ArticleВЕЩЕСТВЕННЫЙ, КОМПЛЕКСНЫЙ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗREAL, COMPLEX AND FUNCTIONAL ANALYSISО неограниченности естественных проекторов в пространствах бесконечных матрицOn unboundedness of natural projectors in spaces of infinite matricesКуницаВ. Н.KunicaV. N.

Минск

Minsk

vikakunica@gmail.comЛыковК. В.LykovK. V.

Минск

Minsk

alkv@list.ruБелорусский государственный университетBelarusian State UniversityИнститут математики НАН Беларуси; Белорусский государственный университетInstitute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Belarus; Belarusian State University2026300620263414555Copyright © Куница В.Н., Лыков К.В., 20262026Куница В.Н., Лыков К.В.Kunica V.N., Lykov K.V.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://mathnas.ejournal.by/jour/article/view/138

В работе рассматриваются банаховы пространства операторов из $\ell^p$ в $\ell^q$, реализуемых в виде бесконечных матриц. Показано, что при $p>1$ и $q<\infty$ для почти всех подпространств, образованных случайно выбранными матричными единицами, естественные проекторы на эти подпространства будут неограничены. Кроме того, эти проекторы будут неограничены уже на классе матриц с элементами $a_{ij}\in\{-1,0,1\}$.

In this paper, we consider Banach spaces of operators from $\ell^p$ to $\ell^q$ that can be realized as infinite matrices. We show that for $p>1$ and $q<\infty$, for almost all subspaces formed by randomly chosen matrix units, the canonical projectors onto these subspaces will be unbounded. Moreover, these projectors will be unbounded even on the class of matrices with elements $a_{ij}\in\{-1,0,1\}$.

дополняемое подпространствопространства последовательностейестественные проекторыбесконечные матрицыматричный оператороператорная нормаслучайная проекциязакон нуля и единицымультипликаторы Шура-Адамараcomplemented subspacesequence spacescanonical projectorsinfinite matricesmatrix operatoroperator normrandom projectionzero-one lawSchur-Hadamard multipliersReferencesВаnасh S., Mazur S. Zur Theorie der linearen Dimension // Studia Math. 1933. Vol. 4. P. 100–112.Ваnасh S., Mazur S. Zur Theorie der linearen Dimension. Studia Math., 1933, vol. 4, pp. 100–112.De Hevia D., Tradacete P. Complemented subspaces of Banach lattices // Banach J. Math. Anal. 2025. Vol. 19. Art. 60.De Hevia D., Tradacete P. Complemented subspaces of Banach lattices Banach J. Math. Anal., 2025, vol. 19, art. 60. https://doi.org/10.1007/s43037-025-00447-0Plebanek G., Rondosˇ J., Sobota D. Complemented subspaces of Banach spaces C(K L) // Journal of Functional Analysis. 2026. Vol. 290, iss. 2. Art. 111236.Plebanek G., Rondosˇ J.,Sobota D. Complemented subspaces of Banach spaces C(K L) Journal of Functional Analysis, 2026, vol. 290, iss. 2, art. 111236. https://doi.org/10.1016/j.jfa.2025.111236Асташкин С. В. Последовательности независимых функций и структура симметричных пространств // УМН. 2024. Т. 79, № 3(477). С. 3–92.Astashkin S. V. Sequences of independent functions and structure of rearrangement invariant spaces. Russian Mathematical Surveys, 2024. vol. 79, iss. 3, pp. 375–457. https://doi.org/10.4213/rm10171eLindenstrauss J., Tzafriri L. On the complemented subspaces problem // Isr. J. Math. 1971. Vol. 9. P. 263–269.Lindenstrauss J., Tzafriri L. On the complemented subspaces problem Isr. J. Math., 1971, vol. 9, pp. 263–269. https://doi.org/10.1007/BF02771592Phillips R. S. On linear transformations // Transactions of the American Mathematical Society. 1940. Vol. 48, N 3. P. 516–541.Phillips R. S. On linear transformations Transactions of the American Mathematical Society, 1940, vol. 48, iss. 3, pp. 516–541. https://doi.org/10.2307/1990096Кадец М. И., Митягин Б. С. Дополняемые подпространства в банаховых пространствах // УМН. 1973. Т. 28, № 6(174). С. 77–94.Kadets M. I. , Mityagin B. S. Complemented subspaces in Banach spaces. Russian Mathematical Surveys, 1973, vol. 28, iss. 6, pp. 77–95. https://doi.org/10.1070/RM1973v028n06ABEH001630Кашин Б. С., Саакян А. А. Ортогональные ряды. М.: Изд. АФЦ, 1999. 560 с.Kashin B. S., Saakyan A. A. Orthogonal Series. Translations of Mathematical Monographs, Amer Mathematical Society, 1989, vol. 75. 451 p.Astashkin S. V., Bakhtin А. А., Lykov K. V. Conditional bases in the matrix space with the cutnorm // Владикавказский математический журнал. 2026. Т. 2. С. 5–19. https://doi.org/10.46698/b6298-9094-1158-nAstashkin S. V., Bakhtin А. А., Lykov K. V Conditional bases in the matrix space with the cut-norm Vladikavkaz Mathematical Journal, 2026, vol. 2, pp. 5–19. https://doi.org/10.46698/b6298-9094-1158-nШиряев А. Н. Вероятность–2. М.: МЦНМО, 2017. 408 с.Shiryaev A. N. Probability. 2nd Edition. Springer, New York, 1996. 621 p. https://doi.org/10.1007/978-0-387-72208-5Bennett G. Schur multipliers // Duke Math. J. 1977. Vol. 44, N 3. P. 603–639.Bennett G. Schur multipliers Duke Math. J., 1977, vol. 44, iss. 3, pp. 603–639. https://doi.org/10.1215/S0012-7094-77-04426-XBanas´ J., Mursaleen M. Sequence Spaces and Measures of Noncompactness with Applications to Differential and Integral Equations. Springer New Delhi, 2014. 315 p.Banas´ J., Mursaleen M. Sequence Spaces and Measures of Noncompactness with Applications to Differential and Integral Equations. Springer New Delhi, 2014. 315 p. https://doi.org/10.1007/978-81-322-1886-9Pitt H. R. A note on bilinear form // J. Lond. Math. Soc. 1936. Vol. 11. P. 174–180.Pitt H. R. A note on bilinear form J. Lond. Math. Soc., 1936, vol. 11, pp. 174–180. https://doi.org/10.1112/jlms/s1-11.3.174Rosenthal H. P. On Quasi-Complemented Subspaces of Banach Spaces, With an Appendix on Compactness of Operators from Lp(µ) to Lq(ν) // Journal of Functional Analysis. 1969. Vol. 4. P. 176–214.Rosenthal H. P. On Quasi-Complemented Subspaces of Banach Spaces, With an Appendix on Compactness of Operators from Lp(µ) to Lq(ν). Journal of Functional Analysis, 1969, vol. 4, pp. 176–214. https://doi.org/10.1016/0022-1236(69)90011-1Stieglitz M., Tietz H. Matrixtransformationen von Folgenra¨umen Eine Ergebnisu¨ bersicht // Mathematische Zeitschrift. 1977. Vol. 154. P. 1–16.Stieglitz M., Tietz H. Matrixtransformationen von Folgenra¨umen Eine Ergebnisu¨ bersicht. Mathematische Zeitschrift, 1977, vol. 154, pp. 1–16. https://doi.org/10.1007/BF01215107Банах C. Теория линейных операций. М.; Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. 272 с.Banach S. Theory of Linear Operations. Dover Publications, 2009. 254 p.Семёнов Е. М., Сукочев Ф. А., Усачёв А. С. Геометрия банаховых пределов и их приложения // УМН. 2020. Т. 75, № 4(454). С. 153–194.Semenov E. M., Sukochev F. A., Usachev A. S. Geometry of Banach limits and their applications Russian Math. Surveys, 2020, vol. 75, iss. 4, pp. 725–763. https://doi.org/10.1070/RM9901Lorentz G. G. Direct theorems on methods of summability II. Canadian Journal of Mathematics. 1951. Vol. 3. P. 236–256.Lorentz G. G. Direct theorems on methods of summability II. Canadian Journal of Mathematics, 1951. vol. 3, pp. 236–256. https://doi.org/10.4153/CJM-1951-028-7Bennett G., Kalton N. J. Inclusion theorems for K-spaces // Canadian Journal of Mathematics. 1973. Vol. 25, N 3. P. 511–524.Bennett G., Kalton N. J. Inclusion theorems for K-spaces. Canadian Journal of Mathematics, 1973, vol. 25, iss. 3, pp. 511–524. https://doi.org/10.4153/CJM-1973-052-2Wilansky A. Summability through Functional Analysis // North-Holland Mathematics Studies 85. Amsterdam; New York; Oxford, 1984. xii+318 p.Wilansky A. Summability through Functional Analysis. North-Holland Mathematics Studies 85. Amsterdam, New York, Oxford, 1984. xii+318 p.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.