mathnasТруды Института математики НАН БеларусиProceedings of the Institute of Mathematics of the NAS of Belarus1812-5093Институт математики НАН Беларуси10.67268/1812-5093-2026-34-1-18-38CBBMGEmathnas-134Research ArticleАЛГЕБРА И ТЕОРИЯ ЧИСЕЛALGEBRA AND NUMBER THEORYВеретенообразность систем весов представлений алгебраических групп малого ранга и регулярные унипотентные элементыThe spindle property of weight systems of representations of small rank algebraic groups and regular unipotent elementsОсиновскаяА. А.OsinovskayaA. A.

Минск

Minsk

anna@im.bas-net.byИнститут математики НАН БеларусиInstitute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Belarus2026300620263411838Copyright © Осиновская А.А., 20262026Осиновская А.А.Osinovskaya A.A.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://mathnas.ejournal.by/jour/article/view/134

Рассматриваются неприводимые представления простых алгебраических групп над полем $\mathbb{C}$ комплексных чисел. Для групп типа $A_2$, $A_3$ и $C_2$ получено обобщение знаменитой теоремы Дынкина о веретенообразности системы весов. Это позволило описать Жорданову нормальную форму унипотентных элементов в неприводимых представлениях таких групп, точнее определить размерности всех блоков Жордана образов унипотентных элементов без нахождения количества этих блоков.

We study irreducible representations of simple algebraic groups over the field $\mathbb{C}$ of~complex numbers. For groups of type $A_2$, $A_3$ and $C_2$ a generalization of the famous Dynkin theorem on the spindle property of the weight system is obtained. This has made it possible to describe the Jordan normal form of unipotent elements in irreducible representations of such groups, i.e., to determine the dimensions of all Jordan blocks of the images of unipotent elements without finding the number of these blocks.

классические линейные группыпредставленияунипотентные элементырегулярные унипотентные элементыблоки Жордана.classical linear groupsrepresentationsunipotent elementsregular unipotent elementsJordan blocks.ReferencesСтейнберг Р. Лекции о группах Шевалле. М.: Мир, 1975. 262 с.Steinberg R. Lectures on Chevalley groups. New Haven, Yale Univ., 1968. 277 p.Дынкин Е. Б. Некоторые свойства системы весов линейного представления полупростой группы Ли // Докл. АН СССР. 1950. Т. 71, № 2. C. 221–224.Dynkin E. B. Some properties of the weight system of the linear representation of a semisimple Lie group. Proceedings of the Academy of Sciences of the USSR, 1950, vol. 71, no. 2, pp. 221–224 (in Russian).Кац В. Бесконечномерные алгебры Ли. М.: Мир, 1993. 425 с.Kac V. Infinite-dimensional Lie algebras. Cambridge, Cambridge University Press, 1990. 400 p.Бурбаки Н. Группы и алгебры Ли, гл. VII–VIII. М.: Мир, 1978. 342 с.Bourbaki N. Groupes et Alge`bres de Lie, Chaps. VII–VIII. Paris, Hermann, 1975. 271 p.Вейль Г. Классические группы. Их инварианты и представления. М.: Гос. изд-во иностр. лит., 1947. 408 с.Weyl H. The Classical Groups: Their Invariants and Representations. Princeton, Princeton University Press, 1946. 336 p.Мурнаган Ф. Д. Теория представлений групп. М.: Гос. изд-во иностр. лит., 1950. 487 с.Murnaghan F. D. The Theory of Group Representations. New York, Dover Publications, 2005. 369 p.Littlewood D. E. On invariant theory under restricted groups // Philos. Trans. Roy. Soc. A. 1944. Vol. 239. P. 387–417. https://doi.org/10.1098/rsta.1944.0003Littlewood D. E. On invariant theory under restricted groups. Philos. Trans. Roy. Soc. A, 1944, vol. 239, pp. 387–417. https://doi.org/10.1098/rsta.1944.0003Liebeck M. W., Seitz G. M., Testerman D. M. Distinguished unipotent elements and multiplicity-free subgroups of simple algebraic groups // Pacific J. Math. 2015. Vol. 279. P. 357–382. https://doi.org/10.2140/pjm.2015.279.357Liebeck M. W., Seitz G. M., Testerman D. M. Distinguished unipotent elements and multiplicity-free subgroups of simple algebraic groups. Pacific J. Math., 2015, vol. 279, pp. 357–382. https://doi.org/10.2140/pjm.2015.279.357Rizzoli A., Testerman D. M. Multiplicity-free representations of the principal A1-subgroup in a simple algebraic group // Pacific Journal of Mathematics. 2025. Vol. 336, N 1–2. P. 433–470. https://doi.org/10.2140/pjm.2025.336.433Rizzoli A., Testerman D. M. Multiplicity-free representations of the principal A1-subgroup in a simple algebraic group. Pacific Journal of Mathematics, 2025, vol. 336, no. 1–2, pp. 433–470. https://doi.org/10.2140/pjm.2025.336.433Osinovskaya A. A. Restrictions of irreducible representations of classical algebraic groups to root A1-subgroups // Commun. in Algebra. 2003. Vol. 31, N 5. P. 2357–2379. https://doi.org/10.1081/AGB-120019001Osinovskaya A. A. Restrictions of irreducible representations of classical algebraic groups to root A1-subgroups. Commun. in Algebra, 2003, vol. 31, no. 5, pp. 2357–2379. https://doi.org/10.1081/AGB-120019001Осиновская А. А. Ограничения неприводимых представлений алгебры Ли sl3 на подал-гебры типа sl2 и структура блоков Жордана нильпотентных элементов // Весцi Нац. акад. навук Беларусi. Сер фiз.-мат. навук. 2000. № 2. С. 52–55.Osinovskaya A. A. Restrictions of irreducible representations of the Lie algebra sl3 to subalgebras of type sl2 and the Jordan block structure of nilpotent elements. Proceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics series, 2000, no. 2, pp. 52–55 (in Russian).Спрингер Т. А., Штейнберг Р. Классы сопряженных элементов // Семинар по алгебраиче-ским группам. М.: Мир, 1973. С. 162–262.Springer T. A., Steinberg R. Conjugacy classes. Seminar on Algebraic Groups and Related Finite Groups. Berlin, Springer-Verlag, 1970, vol. 131, pp. 167–266.Fulton W., Harris J. Representation Theory: a First Course. New York: Springer-Verlag, 1996. 551 p.Fulton W., Harris J. Representation Theory: a First Course. New York, Springer-Verlag, 1996. 551 p.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.