mathnasТруды Института математики НАН БеларусиProceedings of the Institute of Mathematics of the NAS of Belarus1812-5093Институт математики НАН Беларуси10.67268/1812-5093-2026-34-1-7-17VRBVEGmathnas-133Research ArticleАЛГЕБРА И ТЕОРИЯ ЧИСЕЛALGEBRA AND NUMBER THEORYКонечные группы с некоторыми nΦ-подгруппамиFinite groups with certain nΦ-subgroupsМонаховВ. С.MonakhovV. S.

Гомель

Минск

Gomel

Minsk

victor.monakhov@gmail.comХодановичД. А.HodanovichD. A.

Гомель

Gomel

hodanovich@gsu.byГомельский государственный университет им. Ф. Скорины; Институт математики НАН БеларусиF. Scorina Gomel State University; Institute of Mathematics of the National Academy of Sciences of BelarusГомельский государственный университет им. Ф. СкориныF. Scorina Gomel State University202630062026341717Copyright © Монахов В.С., Ходанович Д.А., 20262026Монахов В.С., Ходанович Д.А.Monakhov V.S., Hodanovich D.A.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://mathnas.ejournal.by/jour/article/view/133

Рассматриваются только конечные группы. Подгруппа $H$ группы $G$ называется $n\Phi$-подгруппой, если существует нормальная подгруппа $K$ такая, что $G=HK$ и $H\cap K$ содержится в подгруппе Фраттини подгруппы $H$. Получено строение конечной группы в следующих случаях: $n\Phi$-подгруппами являются все нормальные подгруппы; подгруппа Фраттини группы единична и каждая $n\Phi$-подгруппа нормальна; каждая $2$-максимальная подгруппа является $n\Phi$-подгруппой; каждая $3$-максимальная подгруппа является $n\Phi$-подгруппой; для всех простых $p$ каждая подгруппа порядка $p^2$ является $n\Phi$-подгруппой. Для произвольной формации $\mathfrak F$ устанавливается, что в $\mathfrak F$-корадикале группы каждая неединичная $\mathfrak F$-подгруппа не является $n\Phi$-подгруппой.

Only finite groups are considered. A subgroup $H$ of a group $G$ is called an $n\Phi$-subgroup if there exists a normal subgroup $K$ such that $G=HK$ and $H\cap K$ is contained in the Frattini subgroup of $H$. The structure of a finite group is obtained in the following cases: all normal subgroups are $n\Phi$-subgroups; the Frattini subgroup of the group is trivial and every $n\Phi$-subgroup is normal; every $2$-maximal subgroup is an $n\Phi$-subgroup; every $3$-maximal subgroup is an $n\Phi$-subgroup; for all primes $p$, every subgroup of order $p^2$ is an $n\Phi$-subgroup. For an arbitrary formation $\mathfrak F$, it is established that in the $\mathfrak F$-residual of the a group, every non-trivial $\mathfrak F$-subgroup is not an $n\Phi$-subgroup.

конечная группанормальная подгруппаподгруппа Фраттини$2$-максимальная подгруппаформациякорадикал.finite groupnormal subgroupFrattini subgroup$2$-maximal subgroupformationresidual.ReferencesШеметков Л. А. Формации конечных групп. М.: Наука, 1978.Shemetkov L. A. Formations of Finite Groups. Moscow, Nauka, 1987 (in Russian).Монахов В. С. Введение в теорию конечных групп и их классов. Минск: Вышэйшая школа, 2006.Monakhov V. S. Introduction to the Theory of Finite Groups and Their Classes. Minsk, Vysshaja shkola, 2006 (in Russian).Huppert B. Endliche Gruppen I. Berlin; Heidelberg; New York: Springer, 1967.Huppert B. Endliche Gruppen I. Berlin, Heidelberg, New York, Springer, 1967.Ходанович Д. А. Конечные группы с nΦ-подгруппами простых порядков // Проблемы физики, математики и техники. 2017. № 3. С. 66–68.Khadanovich D. A. Finite groups with nΦ-subgroups of prime orders. Problemy Fiziki, Matematiki i Tekhniki, 2017, no. 3, pp. 66–68 (in Russian).Горчаков Ю. М. Примарно факторизуемые группы // Доклады Академии наук СССР. 1960. Т. 134. C. 23–24.Gorchakov Yu. M. Primarily factorizable groups. Doklady Akademii Nauk SSSR, 1960, vol. 134, pp. 23–24 (in Russian).Черников С. Н. Группы с заданными свойствами системы подгрупп. М.: Наука, 1980.Chernikov S. N. Groups with Given Properties of a System of Subgroups. Moscow, Nauka, 1980. 384 p. (in Russian).Ma Xuanlong. On F-normal subgroups of finite groups // Ricerche mat. 2015. Vol. 64. P. 93–98.Ma Xuanlong. On F-normal subgroups of finite groups. Ricerche mat, 2015, vol. 64, pp. 93–98.Шмидт О. Ю. Группы, все подгруппы которых специальные // Математический сб. 1924. Т. 31. С. 366–372.Schmidt O. Groups, all subgroups of which are special. Matematicheskii Sbornik, 1924, vol. 31, pp. 366–372. (in Russian).Huppert B. Normalteiler und maximale Untergruppen endlicher Gruppen // Math. Zeitschr. 1954. Bd. 60. S. 409–434.Huppert B. Normalteiler und maximale Untergruppen endlicher Gruppen. Math. Zeitschr, 1954, vol. 60, pp. 409–434.Doerk K. Minimal nicht u¨ berauflo¨ sbare, endliche Gruppen // Math. Zeitschr. 1966. Bd. 91. S. 198–205.Doerk K. Minimal nicht u¨ berauflo¨ sbare, endliche Gruppen. Math. Zeitschr, 1966, vol. 91, pp. 198–205.The GAP Group: GAP – Groups, Algorithms, and Programming. Ver. GAP 4.11.0 [Electronic resource]: A system for computational discrete algebra. Mode of access: https://www.gap-system.org. Date of access: 29.05.2025.The GAP Group: GAP – Groups, Algorithms, and Programming. Ver. GAP 4.11.0 [Electronic resource]: A system for computational discrete algebra. Mode of access: https://www.gap-system.org. Date of access: 29.05.2025.Konovalova M. N., Monakhov V. S., Sokhor I. L. On 2-maximal subgroups of finite groups // Communications in Algebra. 2022. Vol. 50. P. 96–103.Konovalova M. N., Monakhov V. S., Sokhor I. L. On 2-maximal subgroups of finite groups. Communications in Algebra, 2022, vol. 50, pp. 96–103.Лю А., Ван С., Сафонов В. Г., Скиба А. Н. Конечные группы с системами обобщенно нормальных подгрупп // Сиб. мат. журн. 2024. Т. 65, № 4. C. 672–685.Liu A., Wang S., Safonov V. G., Skiba A. N. Finite groups with systems of generalized normal subgroups. Siberian Mathematical Journal, 2024, vol. 65, pp. 793–803.Сафонов В. Г., Скиба А. Н. Характеризация некоторых классов конечных групп // Проблемы физики, математики и техники. 2024. № 4 (61). С. 57–64.Safonov V. G., Skiba A. N. Characterization of some classes of finite groups. Problemy Fiziki, Matematiki i Tekhniki, 2024, no. 4 (61), pp. 57–64 (in Russian).

The authors declare that there are no conflicts of interest present.