mathnasТруды Института математики НАН БеларусиProceedings of the Institute of Mathematics of the NAS of Belarus1812-5093Институт математики НАН БеларусиYCAZVVmathnas-103Research ArticleТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКАPROBABILITY THEORY AND MATHEMATICAL STATISTICSИнвариантность стационарного распределения G-сетей с ограниченным временем пребывания относительно распределения времен обслуживанияInvariance of the stationary distribution of G-networks with bounded sojourn time with respect to service time distributionsЕвмененкоС. Ю.EvmenenkoS. Yu.

Гомель

Gomel

stas.evmenenko@yandex.ruГомельский государственный университет имени Франциска СкориныFrancisk Skorina Gomel State University202505012026332114120Copyright © Евмененко С.Ю., 20262026Евмененко С.Ю.Evmenenko S.Y.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://mathnas.ejournal.by/jour/article/view/103

Рассматривается сеть массового обслуживания (СеМО) с отрицательными задачами с однолинейными узлами и ограничением на время пребывания задач в узлах. Если в момент поступления отрицательной задачи в узле имеются положительные задачи, то одна из положительных задач мгновенно исчезает из сети. Если же в этот момент в узле отсутствуют положительные задачи, то поступающая в этот узел отрицательная задача пропадает, не оказывая в дальнейшем никакого влияния на поведение сети. Положительные задачи, время пребывания которых в узле закончилось, мгновенно и независимо от других положительных задач перемещаются по сети в соответствии с матрицей переходных вероятностей, отличной от матрицы маршрутизации обслуженных положительных задач. Доказывается нечувствительность стационарного распределения к форме распределения длительностей обслуживания задач, при фиксированных первых моментах.

We consider a queueing network with negative customers, single-server nodes, and constraints on the sojourn time of customers in nodes. If, at the moment a negative customer arrives at a node, there are positive customers present, one of the positive customers instantly disappears from the network. If, however, no positive customers are present in the node at that moment, the incoming negative customer vanishes immediately and has no further effect on the network’s behavior. Positive customers whose sojourn time in a node has expired instantly and independently of other positive customers begin routing according to a transition matrix that differs from the routing matrix used by positively served customers. The insensitivity of the stationary distribution to the shape of the service time distribution given fixed first moments is proven. The conditional distribution of customer sojourn times in nodes is exponential.

теория массового обслуживаниястохастические процессытеория вероятностейсети Геленбесети с отрицательными задачамимарковские процессыqueueing theorystochastic processesprobability theoryGelenbe networksnetworks with negative customersMarkov processesReferencesGelenbe E. Random neural networks with negative and positive signals and product form solution // Neural Computation. 1989. Vol. 1, N 4. P. 502–510.Gelenbe E. Random neural networks with negative and positive signals and product form solution. Neural Computation, 1989, vol. 1, no. 4, pp. 502–510.Малинковский Ю. В. Сети Джексона с однолинейными узлами и ограниченным временем пребывания или ожидания // Автоматика и телемеханика. 2015. № 4. С. 67–79.Malinkovskii Yu. V. Jackson networks with single-line nodes and limited residence or waiting time. Automation and Remote Control, 2015, no. 4, pp. 67–79.Малинковский Ю. В. Стационарное распределение вероятностей состояний G-сетей с ограниченным временем пребывания // Автоматика и телемеханика. 2017. № 10. С. 155–167.Malinkovskii Yu. V. Stationary probability distribution of G-network states with limited residence time. Automation and Remote Control, 2017, no. 10, pp. 155–167.Jackson J. R. Networks of waiting lines // Operations Research. 1957. Vol. 5, N 4. P. 518–521.Jackson J. R. Networks of waiting lines. Operations Research, 1957, vol. 5, no. 4, pp. 518–521.Kelly F. P. Networks of Queues // Adv. Appl. Probab. 1979. Vol. 11, N 2. P. 343–375.Kelly F. P. Networks of Queues. Advances in Applied Probability, 1979, vol. 11, no. 2, pp. 343–375.Baskett F., Chandy K. M., Muntz R. R., Palacios F. G. Open, closed, and mixed networks of queues with different classes of customers // Journal of the ACM. 1975. Vol. 22, N 2. P. 248–260.Baskett F., Chandy K. M., Muntz R. R., Palacios F. G. Open, closed, and mixed networks of queues with different classes of customers. Journal of the ACM, 1975, vol. 22, no. 2, pp. 248–260.Gelenbe E. Product-form queueing networks with negative and positive customers // Journal of the ACM. 1991. Vol. 38, N 3. P. 615–631.Gelenbe E. Product-form queueing networks with negative and positive customers. Journal of the ACM, 1991, vol. 38, no. 3, pp. 615–631.Журавлева Е. А., Максимов И. В. Анализ устойчивости и стационарного режима в G-сетях с отрицательными заявками // Труды Московского физико-технического института. 2020. Т. 12, № 3. С. 56–65.Zhuravleva E. A., Maksimov I. V. Stability analysis and stationary regime in G-networks with negative customers. Proceedings of Moscow Institute of Physics and Technology, 2020, vol. 12, no. 3, pp. 56–65.Смирнова Н. В. Модели с отрицательными заявками в современных распределенных системах // Вестник Санкт-Петербургского университета. 2019. № 2. С. 101–114.Smirnova N. V. Models with negative customers in modern distributed systems. Bulletin of St. Petersburg University, 2019, no. 2, pp. 101–114.Малинковский Ю. В., Евмененко С. Ю. Инвариантность стационарного распределения открытой сети обслуживания с экспоненциальным ограничением на время пребывания // Автоматика и телемеханика. 2024. № 9. С. 93–100.Malinkovskii Yu. V., Evmenenko S. Yu. Invariance of the stationary distribution of an open queueing network with an exponential restriction on residence time. Automation and Remote Control, 2024, no. 9, pp. 93–100.Малинковский Ю. В. Инвариантность стационарного распределения состояний модифицированных сетей Джексона и Гордона–Ньюэлла // Автоматика и телемеханика. 1998. № 9. С. 29–36.Malinkovskii Yu. V. Invariance of the stationary distribution of states in modified Jackson and Gordon–Newell networks. Automation and Remote Control, 1998, no. 9, pp. 29–36.Довженок Т. С. Инвариантность стационарного распределения сетей с обходами и отрицательными заявками // Автоматика и телемеханика. 2002. № 9. С. 97–110.Dovzhenok T. S. Invariance of the stationary distribution of networks with bypasses and negative customers. Automation and Remote Control, 2002, no. 9, pp. 97–110.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.