mathnasТруды Института математики НАН БеларусиProceedings of the Institute of Mathematics of the NAS of Belarus1812-5093Институт математики НАН БеларусиSQLRSRmathnas-102Research ArticleДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ И ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕDIFFERENTIAL EQUATIONS, DYNAMIC SYSTEMS AND OPTIMAL CONTROLИнтегро-дифференциальное уравнение, заданное на кривой в угловой области и содержащее комплексное сопряжениеAn integro-differential equation defined on a curve in the angular domain and containing a complex conjugateШилинА. П.ShilinA. P.

Минск

Minsk

a.p.shilin@gmail.comБелорусский государственный университетBelarusian State University202505012026332103113Copyright © Шилин А.П., 20262026Шилин А.П.Shilin A.P.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://mathnas.ejournal.by/jour/article/view/102

Изучается новое линейное интегро-дифференциальное уравнение на замкнутой кривой, расположенной на комплексной плоскости. На кривую и на коэффициенты уравнения накладываются некоторые ограничения. Уравнение содержит гиперсингулярные интегралы с искомой функцией. Характерной особенностью уравнения является наличие также регулярных интегралов с искомой функцией и ее комплексно-сопряженным значением. Решение уравнения сводится к решению смешанной краевой задачи для аналитических функций и последующему решению дифференциальных уравнений с дополнительными условиями на решение. Явно указываются условия разрешимости исходного уравнения. При их выполнении решение строится в замкнутой форме. Приводится пример.

A new linear integro-differential equation is studied on a closed curve located on the complex plane. There are some restrictions on the curve and the coefficients of the equation. The equation contains hypersingular integrals with the desired function. A characteristic feature of the equation is the presence of regular integrals with the desired function and its complex conjugate value. The solution of the equation is reduced to solving a mixed boundary value problem for analytic functions and the subsequent solutijn of differential equations with additional conditions on the solution. The conditions for the solvability of the original equation are explicitly stated. When these are performed, the solution is in closed form. An example is given.

интегродифференциальное уравнениегиперсингулярный интегралобобщенные формулы Сохоцкогосмешанная краевая задачалинейное дифференциальное уравнениеintegro-differential equationhypersingular integralgeneralized Sokhotsky formulasmixed boundary problemlinear differential equationReferencesЗверович Э. И. Обобщение формул Сохоцкого // Весцi Нацыянальнай акадэмii навук Беларусi. Серыя фiзiка-матэматычных навук. 2012. № 2. С. 24–28.Zverovich E. I. Generalization of Sokhotsky formulas. Proceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics Series, 2012, no. 2, pp. 24–28 (in Russian).Зверович Э. И. Решение гиперсингулярного интегро-дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами // Доклады Национальной академии наук Беларуси. 2010. T. 54, № 6. С. 5–8.Zverovich E. I. Solution of the hypersingular integro-differential equation with constant coefficients. Doklady of the National Academy of Sciences of Belarus, 2010, vol. 54, no. 6, pp. 5– 8 (in Russian).Зверович Э. И., Шилин А. П. Решение интегро-дифференциальных уравнений с сингулярными и гиперсингулярными интегралами специального вида // Весцi Нацыянальнай акадэмii навук Беларусi. Серыя фiзiка-матэматычных навук. 2018. Т. 54, № 4. С. 404–407. https://doi.org/10.29235/1561-2430-2018-54-4-404-407Zverovich E. I., Shilin A. P. Integro-differential equations with singular and hypersingular integrals. Proceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics Series, 2018, vol. 54, no. 4, pp. 404–407 (in Russian). https://doi.org/10.29235/1561-2430-2018-54-4-404-407Шилин А. П. Гиперсингулярное интегро-дифференциальное уравнение с линейными функциями в коэффициентах // Весцi Нацыянальнай акадэмii навук Беларусi. Серыя фiзiкаматэматычных навук. 2022. Т. 58, № 4. С. 358–369. https://doi.org/10.29235/1561-2430-2022-58-4-358-369Shilin A. P. A hypersingular integro-differential equation with linear functions in coefficients. Proceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics Series, 2022, vol. 58, no. 4, pp. 358–369 (in Russian). https://doi.org/10.29235/1561-2430-2022-58-4-358-369Шилин А. П. Интегро-дифференциальное уравнение, связанное со смешанной задачей Римана–Гильберта // Труды 11-го международного семинара «Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений», 16–20 сентября 2024 г., Минск, Беларусь. Минск: БГУ, 2024. С. 87–93.Shilin A. P. Integro-differential equation related to the mixed Riemann–Hilbert problem. Proceedings of the 11th International Workshop «Analytical Methods of Analysis and Differential Equations», September 16–20, 2024, Minsk, Belarus. Minsk, BSU, 2014, pp. 87–93 (in Russian).Шилин А. П. Интегро-дифференциальное уравнение, связанное с краевой задачей Римана– Карлемана // Труды Института математики НАН Беларуси. 2024. Т. 32, № 2. С. 73–81.Shilin A. P. Integro-differential equation associated with the Riemann–Carleman boundary value problem. Proceedings of the Institute of Mathematics of the NAS of Belarus, 2024, vol. 32, no. 2, pp. 73–81 (in Russian).Шилин А. П. Решение гиперсингулярного интегро-дифференциального уравнения на кривой, расположенной в угловой области // Журнал Белорусского государственного университета. Математика. Информатика. 2025. № 2. С. 6–15. EDN: OVOHOIShilin A. P. Solution of the hypersingular integro-differential equation on a curve located in the angular domain. Journal of the Belarusian State University. Mathematics and Informatics, 2025, no. 2, pp. 6–15 (in Russian). EDN: OVOHOIГахов Ф. Д. Краевые задачи. М.: Наука, 1977.Gakhov F. D. Boundary Value Problems. Moscow, Nauka, 1977 (in Russian).

The authors declare that there are no conflicts of interest present.